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Intégrale à paramètre

Posté par
AlphaFox 26-01-22 à 18:27

Bonjour,

Je bloque sur un exercice d'intégrale à paramètre :

Montrer que \int_{0}^{n}{\sqrt{1+(1-\frac{x}{n})^{n}}dx}\sim n lorsque n tend vers l'infini

J'ai posé un changement de variable : u=1-\frac{x}{n}

Ce qui donne  n\int_{0}^{1}{\sqrt{1+u^{n}}du}

J'ai pensé au théorème de convergence dominée mais je ne vois pas vraiment comment l'appliquer ici.


Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
larrechre : Intégrale à paramètre 26-01-22 à 18:53

Bonjour,

{\sqrt{1+u^{n}}\leq (1+u^n) me semble-t-il

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intégrale à paramètre 26-01-22 à 21:14

Bonsoir

Si on note \Large \boxed{I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}{\sqrt{1+\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}}dx}} on a clairement \Large \boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~\forall x\in[0,n]~,~1\leqslant\sqrt{1+\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}}}

et donc aussi (comme l'a bien vu larrech ) \Large \boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~\forall x\in[0,n]~,~\sqrt{1+\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}}\leqslant1+\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}}

d'où \Large \boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~n=\int_0^n1dx\leqslant I_n\leqslant\int_0^n\left(1+\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n}\right)dx=\left[x-\frac{n}{n+1}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n+1}\right]_0^n=n+\frac{n}{n+1}}

et donc \Large \boxed{\forall n\in\mathbb N^*~,~1\leqslant \frac{I_n}{n}\leqslant\frac{n+2}{n+1}} sauf erreur bien entendu

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale à paramètre 26-01-22 à 21:49

Bonsoir,

le théorème de convergence dominée permet de conclure à partir de n\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^{n}}du puisque u^n a pour limite 0 et on peut dominer par la fonction u\mapsto \sqrt2 qui est intégrable sur [0,1].


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