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intégrale à paramètre

Posté par
Jean1418 16-01-23 à 22:23

Bonjour,
Soit f(x)=\frac{e^{-xt}}{\sqrt{t^2+t}}.
Sachant que f est C^1 sur \mathbb{R}^{*}_{+}, quelle méthode employer pour en déterminer un équivalent en 0 et en + \infty ? J'ai évidemment dérivé mais cela ne semble rien fournir.

Posté par
Jean1418re : intégrale à paramètre 16-01-23 à 22:24

Erreur : il s'agit bien sûr de l'intégrale à paramètre : f(x)=\int_0^{\infty} \frac{e^{-xt}}{\sqrt{t^2+t}}dt

Posté par
Razesre : intégrale à paramètre 16-01-23 à 22:56

Bonsoir,

Au voisinage de 0; \sqrt{t^2+t}=\sqrt{t}\sqrt{t+1}

Au voisinage de +\infty
\sqrt{t^2+t}=\sqrt{t^2}\sqrt{1+\frac 1 t}

Posté par
lionel52re : intégrale à paramètre 17-01-23 à 15:40

Pour 0 je te conseille de poser u = xt

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale à paramètre 17-01-23 à 23:43

Bonsoir Jean1418

Une idée :

Je suppose que tu as montré que f est C^1 sur \mathbb R^{*}_{+} et que \Large\boxed{\forall x>0~,~f'(x)=\int_0^{+\infty}\frac{-te^{-xt}}{\sqrt{t^2+t}}~dt}.


On a alors \Large\boxed{\forall x>0~,~-xf'(x)=\int_0^{+\infty}\frac{xte^{-xt}}{\sqrt{t^2+t}}~dt}.


Le changement de variable \Large\boxed{u=tx} donne \Large\boxed{\forall x>0~,~-xf'(x)=\int_0^{+\infty}\frac{ue^{-u}}{\sqrt{u^2+xu}}~du} ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale à paramètre 18-01-23 à 21:47

En posant \Large\boxed{\forall x>0~,~g(x)=\int_0^{+\infty}\frac{ue^{-u}}{\sqrt{u^2+xu}}~du} montrons que \Large\boxed{\blue{\lim_{x\to0^+}g(x)=1}},


il n'est pas difficile de voir que \Large\boxed{\forall x,u>0~~,~~\frac{u}{u+\frac{x}{2}}~<~\frac{u}{\sqrt{u^2+xu}}~<~1}


et donc que \Large\boxed{\forall x>0~~,~~\int_0^{+\infty}\frac{ue^{-u}}{u+\frac{x}{2}}~du~<~g(x)~<~\int_0^{+\infty}e^{-u}~du=1}


qui s'écrit aussi \Large\boxed{\forall x>0~~,~~1-\underbrace{\boxed{\frac{x}{2}\int_0^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u+\frac{x}{2}}~du}}_{h(x)}~<~g(x)~<~1}


et comme \Large\boxed{\forall x>0~~,~~h(x)=\frac{x}{2}\int_0^1\frac{e^{-u}}{u+\frac{x}{2}}~du~~+~\frac{x}{2}\int_1^{+\infty}\frac{e^{-u}}{u+\frac{x}{2}}~du}


on voit que \Large\boxed{\forall x>0~~,~~0~<~h(x)~<~\frac{x}{2}\int_0^1\frac{du}{u+\frac{x}{2}}~~+~\frac{x}{2}\frac{1}{1+\frac{x}{2}}\int_1^{+\infty}e^{-u}~du}


ou encore que \Large\boxed{\forall x>0~~,~~0~<~h(x)~<~\frac{x}{2}\ln\left(1+\frac{x}{2}\right)-\frac{x}{2}\ln\left(\frac{x}{2}\right)~~+~\frac{x}{2+x}}


et donc que \Large\boxed{\blue{\lim_{x\to0^+}h(x)=0}}.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale à paramètre 18-01-23 à 22:04

Voilà Jean1418


On vient ainsi d'établir (d'une manière élémentaire) que \Large\boxed{\blue{\lim_{x\to0^+}xf'(x)=-1}} ou encore que \Large\boxed{\blue{f'\sim_{0^+}-\frac{1}{x}}}


je te laisse alors en déduire que \Large\boxed{\red{f\sim_{0^+}-\ln(x)}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale à paramètre 19-01-23 à 13:03

En suivant une démarche analogue je trouve :

\Large\boxed{\red{f~\sim_{+\infty}~\sqrt{\frac{\pi}{x}}}} sauf erreur de ma part bien entendu


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