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Intégrale + analyse complexe

Posté par
fusionfroide 13-05-07 à 19:52

Salut

Voici la bête !

Calculer 4$I=\Bigint_{0}^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x^2)}

Voilà, c'est la première fois que je traite une intégrale avec une racine carrée en varaible complexe...que faut-il faire, sur quoi intégrer ?

Merci pour votre aide !

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 19:56

Peut-être sur ce lacet ?

Intégrale + analyse complexe

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:09

re (bientôt exam d'analyse complexe ou bien ?)

Essaie plutôt d'intégrer sur un lacet comme dans l'intégrale d'hier soir.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:12

Citation :
re (bientôt exam d'analyse complexe ou bien ?)


Dans une semaine

Citation :
Essaie plutôt d'intégrer sur un lacet comme dans l'intégrale d'hier soir.


Peux-tu donner le lien, on en a fait pas mal non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:14

ici Analyse complexe 3

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:16

merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:18

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:21

Une question : est-ce que 4$\sqrt{x} a un sens en analyse complexe ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:23

oui mais sur le tout le plan complexe : il faut prendre une détermination de la racine carrée dont une détermination du logarithme.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:29

ok donc 4$\sqrt{x}=exp{\frac{1}{2}log(x)}

et donc 4$\sqrt{i}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:33

oui ! (je vais manger, je reviendrais tout à l'heure)

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:45

ok bon app' !

Je te mets ce que j'ai trouvé :

4$Res(f,0)=0 et 4$Res(f,i)=\frac{\sqrt{2}}{2(1+i)}

Je note 4$\gamma_R le lacet entier, 4$\gamma_{\epsilon} le demi cercle contournant 0 et 4$\gamma_R le demi-cerle supérieur.

On a donc :

4$\Bigint_{\gamma_R} f(z)dz=\frac{\sqrt{2}\pi i}{1+i}=\Bigint_{-R}^{-\epsilon}f(x)dx-\Bigint_{\gamma_{\epsilon}}f(z)dz+\Bigint_{\epsilon}^{R}f(x)dx+\Bigint_{\gamma_R} f(z)dz

Or 4$\lim_{\epsilon \to 0}\Bigint_{\gamma_{\epsilon}}f(z)dz=\pi i Res(f,0)=0

et il est clair que 4$\lim_{R\to \infty}\Bigint_{\gamma_R} f(z)dz=0

Donc 4$\frac{\sqrt{2}\pi i}{1+i}=\Bigint_{-\infty}^0f(x)dx+\Bigint_0^{+\infty}f(x)dx

Après je n'ose pas aller plus loin !

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 20:55

A mon tour je m'en vais manger !

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:04

Bon appétit !

Plusieurs remarques concernant ton dernier post :

1) 0 n'est pas un pole
2) on ne peut donc pas appliquer le théorème des résidus à l'intégrale sur le petit arc de cercle pour cette raison et aussi parce que ce chemin n'est pas un lacet (il faut calculer la limite explicitement)
3) on a affaire au même problème qu'hier concernant les réels strictement négatifs

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:11

une dernière chose : es-tu sûr de ton calcul du résidu en i ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:15

Je ne comprends pas pourquoi 0 n'est pas un pôle ?

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:15

Pour le résidu en i, tu ne trouves pas la même chose ?

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:17

4$Res(f,i)=lim_{z\to i} (z-i)f(z)=\lim_{z\to i} \frac{1}{\sqrt{z}(z+i)}

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:18

et 4$\sqrt{i}\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) donc ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:22

si c'était un pôle, alors en écrivant le développement de Laurent en 0, pourrait écrire f sous la forme \Large{P(\frac{1}{z})+g(z)} où P est un polynôme et g une fonction holomorphe au voisinage de 0.
De plus, la fonction inverse est holomorphe sur tout voisinage de 0 privée de 0.
En partculier f serait prolongeable en une fonction holomorphe sur un voisinage de 0 privé de 0 (par exemple un disque ouvert privé de 0).
Cela veut donc dire qu'on pourrait construire une détermination de la racine carrée qui fait le tour de 0, ce qui n'est pas possible.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:24

wouah ok !

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:25

et pour ce qui est du résidu de f en i ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 21:44

mais il doit y avoir un 2i qui apparait (en regardant la limite).

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 22:32

4$Res(f,i)=lim_{z\to i} (z-i)f(z)=\lim_{z\to i} \frac{1}{\sqrt{z}(z+i)}=\frac{1}{\sqrt{i}2i}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)2i}

Voilà

Citation :
on ne peut donc pas appliquer le théorème des résidus à l'intégrale sur le petit arc de cercle pour cette raison et aussi parce que ce chemin n'est pas un lacet (il faut calculer la limite explicitement)


Ok je trouve 0

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 22:34

Là, tout est correct.
Il ne reste plus qu'à s'occuper de l'intégrale sur les réels strictement négatifs.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 22:50

ok on touche au but (merci pour le temps que tu y passes )


On a donc : 4$\frac{2\pi i}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)2i}=\Bigint_{-\infty}^0f(x)dx+\Bigint_0^{+\infty}f(x)dx

Sur la partie négative, on a donc pour x <0 :

4$\sqrt{-x}=exp{\frac{1}{2}Log(x)}=exp{\frac{1}{2}log(-x)+\frac{1}{2}i\pi}

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 22:56

Citation :
merci pour le temps que tu y passes


je t'en prie !
(ça me plait l'analyse complexe )

Sinon, c'est bien ça.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:01



ok donc on a :

4$\frac{2\pi i}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)2i}=\Bigint_{-\infty}^0\frac{exp{-i\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{-x}(1+x^2)}+\Bigint_0^{+\infty}f(x)dx


C'est toujours correct ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:01

oui !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:03

ok mais n'y a-t-il pas un problème avec les bornes ? Je veux dire comment se ramener à une seule intégrale ? A moins qu'il faille identifier partie imaginaire et partie réelle ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:05

oui tu peux !
tu peux aussi faire un changement de variable dans la première intégrale.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:06

u=1/x ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:07

plus simple que ça (\Large{\sqrt{-x}} c'est pas génial )

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:10

u=-1/x

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:10

euh plutôt u=-x

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:22

oui !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:26

d'accord donc ça me donne :

4$\frac{2\pi i}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)2i}=\Bigint_{+\infty}^0\frac{exp{-i\frac{\pi}{2}}}{\sqrt{u}(1+u^2)}+\Bigint_0^{+\infty}f(x)dx

DOnc 4$\frac{2\pi i}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)2i}=-exp{i\frac{\pi}{2}}\Bigint_{0}^{+\infty}f(u)du+\Bigint_0^{+\infty}f(x)dx

Donc 4$\Bigint_0^{+\infty}f(x)dx=\frac{2\pi i}{\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)2i(1-exp{i\frac{\pi}{2}})}

Mais le problème c'est que je trouve pour le membre de droite un complexe au lieu d'un réel !

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:27

oups dans l'expo c'est du -i

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:29

Est-ce que je peux identifier les parties réelles ?

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 13-05-07 à 23:38

Il y a une erreur bête quelque part que je ne trouve pas : ce n'est pas grave.

Le principale c'est que tu m'ais montré comment gérer une telle intégrale.

Merci beaucoup kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 14-05-07 à 00:26

Mais je t'en prie !
Sinon, je pense avoir trouvé l'erreur : lors du changement de variable, il y a deux signe "moins" : un qui vient du fait que les bornes se retrouvent inversées et un qui vient du dx. Du coup, il n'y a plus de signe "moins".

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 14-05-07 à 21:40

Je me permets de remonter ce topic, au cas où tu n'aurais pas vu mon dernier message.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Intégrale + analyse complexe 14-05-07 à 21:41

Salut kaiser,

C'est noté

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale + analyse complexe 14-05-07 à 21:42


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