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Intégrale avec changement de variable (?)

Posté par
yann_zou 31-08-13 à 16:52

Bonjour a tous,
Voila j'ai quelques petits soucis pour résoudre l'intégrale suivante :

intégrale entre -1 et 1 de t²1-t²

J'ai donc opéré un changement de variable en cosinus et poursuivi mon calcul. J'ai obtenu :
4\int_0^{pi} sin²(2u)du
Et c'est là que je suis bloqué. J'ai refait un changement de variable en x=2u et manipulant le sin² en (1-cos2x)/2 et j'obtient comme résultat . Je me doute bien que je me suis trompé mais je ne vois pas comment résoudre cette intégrale même si je pense que le changement de variable semble être la seule option.

Merci de votre aide.

PS : désolé pour l'ecriture de la première intégrale mais je n'arrive pas a rentrer la borne 1- avec la fonction latex.

Posté par
carpediemre : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 16:58

salut

les changements de variable sont corrects

t = cos(u) (ou sin(u))

puis 2u = x si tu veux ...

la formule de cos(2x) permet de simplifier effectivement

maintenant à toi de reprendre les étapes proprement et de nous les écrire pour voir où tu t'es trompé .....

Posté par
carpediemre : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 17:02

t = cos(u) donc dt = -sin(u)

l'intégrande devient ... ?


et ce n'est pas "un changement de...." mais le puisqu'ils sont définis à chaque fois ....

Posté par
LeDinore : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 17:32

Pour vérification finale, on doit en principe trouver :   I = \dfrac {\Pi}{8}


I  =  \int _{t=-1}^{+1} t^2 \sqr {1-t^2}.dt  =  2.\int _{t=0}^{+1} t^2 \sqr {1-t^2}.dt            :: par parité

I  =  2.\int _{x=\pi/2}^{0} \cos^2 x .\sqr {1-\cos^2 x}.d\cos x                :: changement de variable t = cos x

I  =  2.\int _{x=0}^{\pi/2} \cos^2 x .\sin^2 x.dx  =  2.\int _{x=0}^{\pi/2} \sin^2 x.dx  -  2.\int _{x=0}^{\pi/2} \sin^4 x.dx

\implies  \boxed {  I  =  2.W_2 - 2.W_4  }         :: Wn, intégrales de Wallis

Wallis :

W_n = \int _{x=0}^{\pi/2} \sin^n x.dx

W_0 = \pi/2    W_1 = 1
W_n = \dfrac {n-1}{n}.W_{n-2}     :: Récurrence qui donne W_2 et W_4

Posté par
LeDinore : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 17:34

NB : j'ai utilisé Wallis comme raccourci pour obtenir le résultat pour vérification...
Je précise que je ne recommande pas forcément l'utilisation de Wallis pour résoudre l'exercice, que je laisse à l'appréciation de yann_zou sous le regard de carpediem ...

Posté par
alb12re : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 17:46

salut LeDino,
il serait peut-etre plus simple à l'avant derniere ligne d'utiliser (sin(X))^2=(1/2)*(1-cos(2X))

Posté par
alb12re : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 17:48

... ainsi que l'avait suggere yann_zou au debut de son intervention

Posté par
LeDinore : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 17:57

Bonjour alb12 ,

Je suis entièrement d'accord avec toi et je pense comme toi que l'observation de yann_zou était juste.
Je n'ai utilisé Wallis sur la fin que pour obtenir de suite le résultat afin de permettre à yann_zou une vérification.
Mais je ne recommande pas de l'appliquer pour réaliser son exercice.
A lui de voir ce qui convient le mieux dans le contexte du cours et de ses compétences.

NB : si son prof a fait une thèse sur les intégrales de Wallis, cette solution indiquée "en marge" le ravira peut-être ...

Posté par
ndjembasre : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 18:45

LeDino et vous tous……

   je ne connais pas wallis. Toutefois vous éveillez ma curiosité…. Ca voudrè dire qu'on peut faire un développemt plus poussé et aboutir au résultat suivant.

Intégrale avec changement de variable (?)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 18:46

S t².V(1-t²) dt

Poser t = cos(u)
dt = -sin(u) du

S t².V(1-t²) dt = - S cos²(u) * V(1-cos²(u)) * sin(u) du = - S sin²(u).cos²(u) du = -(1/4).S sin²(2u) du = -(1/4).S (1 - cos(4u))/2 = -(1/8).(u - (1/4).sin(4u))

t = -1 --> u=Pi
t = 1 ---> u = 0

S(de-1à1) t².V(1-t²) dt = -(1/8).[(u - (1/4).sin(4u))](de Pi à 0) = Pi/8
-----
Sauf distraction.  

Posté par
ndjembasre : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 18:52

j'apprend beaucoup de vous sur ce site..... il è Génial...

Posté par
LeDinore : Intégrale avec changement de variable (?) 31-08-13 à 19:29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grales_de_Wallis :

Posté par
yann_zoure : Intégrale avec changement de variable (?) 01-09-13 à 14:46

Merci a tous pour vos réponses ! Effectivement avec mon raisonnement ca marche parfaitement mais en grand idiot que je suis j'ai dit que cosx*sinx=2sin(2x)... Ce qui est bien évidemment faut, de ce fait je me retrouve avec un 4 au lieu d'un 1/4. Problème résolu donc ! Mais LeDino ta méthode par l'intégrale de Wallis est vraiment astucieuse, je n'y aurais jamais pensé je crois^^. Merci a tous en tout cas !


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