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Intégrale avec une partie entière

Posté par
coco75
05-07-13 à 14:34

Bonjour,

J'aurai besoin d'une vérification d'un résultat (n'ayant pas la correction). Je n'ai pas de logiciel qui me sort la valeur de l'intégrale que je cherche, donc je fais appel à vous. Merci d'avance à ceux qui auront le courage de m'aider

Existence et calcul de \int_0^{1} \frac{1}{x}-E(\frac{1}{x}) dx

Ce qui j'ai fait :
Je pose I_T=\int_0^{\frac{1}{T}} \frac{1}{x}-E(\frac{1}{x}) dx
changement de variable x=\frac{1}{u} et je découpe l'intervalle d'intégration en segments de longueur 1 :
I_T=\sum_{k=1}^{E(T)-1} \int_k^{k+1} \frac{1}{u}-\frac{E(u)}{u^2} + \int_{E(T)}^{T} \frac{1}{u}-\frac{E(u)}{u^2}
La deuxième intégrale n'est pas gênant et tend vers 0 donc on s'occupe de la première qui donne, après simplification (sachant que E(u)=k sur chaque segment) :

=ln(E(t))-\sum_{k=1}^{E(T)-1} \frac{1}{k+1}
 \\ =ln(E(t))-\sum_{k=2}^{E(T)} \frac{1}{k}+1-1
 \\ =ln(E(t))-\sum_{k=1}^{E(T)} \frac{1}{k}+1
 \\ =1-\gamma+O(1)

On a ainsi l'existence.

Finalement \int_0^{1} \frac{1}{x}-E(\frac{1}{x}) dx = 1-\gamma

Est-ce bon ?
Merci d'avance.

Posté par
gui_tou
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 14:42

Ok pour moi !

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 14:46

Merci gui_tou pour la deuxième fois !

Posté par
carpediem
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 14:48

salut

c'est quoi T ?


j'aurais plutôt écrit ::

01 ... = 1+ 1/n+11/n ....

il est alors aisé d'avoir E(1/x) sur chacun des intervalles [1/(n+1), 1/n]

avec cette méthode tu pourras comparer avec ta méthode ..

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 14:53

Un paramètre que je fais tendre vers

Posté par
gui_tou
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 14:55

Salut carpediem,

oui coco75 le résultat est juste mais la présentation n'est pas tip top. Tu ne voulais pas plutôt intégrer entre 1/T et 1 au lieu de 0 et 1/T ?

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 14:58

@gui_tou : Oh oui ! C'est bien ça ! haha sinon ça n'a aucun sens

@carpediem : effectivement, ta méthode est plus rapide !
Merci !

Posté par
carpediem
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 15:02

ok je comprends mieux  :: "mes" bornes correspondent à ton "1/T"

oui car la partie entière est constante sur chacun de mes intervalles définies par les bornes d'intégration :: on a donc immédiatement une primitive ln(x) - nx ....


de rien et au plaisir

et salut à gui_tou

Posté par
alb12
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 15:59

"Je n'ai pas de logiciel qui me sort la valeur de l'intégrale que je cherche"
Xcas se contente d'une grossiere approximation:
romberg(1/x-floor(1/x),x,0,1) renvoie [0.422991232764,0.42166268683]
et le message:
Adaptive method failure, will try with Romberg, last approximation was 0.422991232764
Limite aux bornes est infinie ou indéfinie.
On utilise la méthode de Romberg avec le point milieu
Impossible de touver l'intégrale numérique avec Romberg, on renvoie la dernière approximation
En revanche il est posible de faire:
sum(romberg(1/x-floor(1/x),x,1/(n+1),1/n),n,1,10000)
qui renvoie 0.422734340923
à rapprocher de 1.0-euler_gamma qui vaut approximativement 0.422784335098

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 16:35

Ok merci pour l'info ! Je ne connaissais pas Xcas

Posté par
ThierryPoma
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 17:03

Bonjour,

Le fait que l'on ait une singularité en le point 0 ne gêne absolument personne. Il s'agit en fait de la partie "Existence" de cette intégrale impropre qui n'a pas été traitée convenablement.

Avec tout mon respect,

T. Poma

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 17:09

Salut ThierryPoma,

Je croyais pourtant l'avoir traité (dans mon tout premier post, j'ai fait une erreur sur la définition de IT). J'ai :

I_T=\int_{\frac{1}{T}}^1 \frac{1}{x}-E(\frac{1}{x}) dx qui existe bel et bien.

Et j'arrive à I_T = 1 - \gamma + O(1), ce qui prouve bien l'existence non ?

Posté par
ThierryPoma
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 17:51

Voyons... La fonction x\mapsto\frac{1}{x}-E\left(\frac{1}{x}\right) est-elle localement intégrable sur ]0,\,1] et surtout pourquoi ? Là, je pars !

T. P.

Posté par
carpediem
re : Intégrale avec une partie entière 05-07-13 à 19:53

par définition de la partie entière on a 0 =< x - E(x) < 1 sur R .....

cette fonction est donc bornée et continue par morceaux ...

Posté par
gui_tou
re : Intégrale avec une partie entière 06-07-13 à 00:01

Calculer l'intégrale prouve la converge Thierry Poma ...

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 09:58

Citation :
par définition de la partie entière on a 0 =< x - E(x) < 1 sur R .....

cette fonction est donc bornée et continue par morceaux ...


C'est ce que j'ai pensé aussi. Peut être quelque chose nous échappe ? D'où la remarque de ThierryPoma...

Posté par
gui_tou
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 10:03

Rien ne nous échappe je te rassure !

Posté par
coco75
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 10:36

Ca me rassure !
Encore merci à tous

Posté par
Camélia Correcteur
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 16:36

Bonjour à tous.

Rien à dire sur l'intégrale, mais j'ai un petit problème de terminologie... Dans "continu par morceaux" on n'impose pas une subdivision finie?

Posté par
gui_tou
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 16:44

Salut Camélia,

Pour moi tant que la subdivision est dénombrable, cela reste valable

Posté par
Camélia Correcteur
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 16:57

Oh, si tu prends des intervalles non singletons, elle reste dénombrable! En fait je n'ai jamais vraiment su... Wiki prend une subdivision finie... Evidemment ça n'a aucune importance, mais en ces temps d'oraux, il ne faudrait pas faire d'abus de langage!

Posté par
carpediem
re : Intégrale avec une partie entière 08-07-13 à 17:50

oui "au plus dénombrable" ... même si il y a un point d'accumulation (nul) qui peut poser pb ....

mais sur l'intervalle ]0, 1/n] f est bornée par 0 et 1  (comme sur [1/n, 1] d'ailleurs)

donc le reste de l'intégrale est compris entre 0 * 1/n  et 1 * 1/n qui tend vers 0

ce me semble-t-il ....

Posté par
Yumi
re : Intégrale avec une partie entière 02-06-15 à 14:09

Bonjour,

J'ai le même exo...mais je ne comprends pas vos méthodes ...
coco75 (qui n'est plus) je ne comprends pas tes bornes... et carpediem dans ton indication...ne te manque t il pas un moins ?

Merci de bien vouloir m'expliquer.

Posté par
carpediem
re : Intégrale avec une partie entière 02-06-15 à 18:29

I = \int_0^1 (\dfrac 1 x - E(\dfrac 1 x))dx = \lim_{n \to + \infty} \sum_0^n \int_{\frac 1{k + 1}}^{\frac 1 k}} (\dfrac 1 x - E(\dfrac 1 x))dx = \lim_{n \to + \infty} \sum_0^n \int_k^{k + 1} \dfrac {u - E(u)}{u^2}du = ....

posons  u = \dfrac 1 x  donc  dx = - \dfrac {du}{u^2}


1/ 0 =< 1/x - E(1/x) < 1 donc si I existe alors 0 < I < 1

2/ la somme est monotone croissante et bornée donc convergente

donc I existe

Posté par
luzak
re : Intégrale avec une partie entière 03-06-15 à 11:36

Bonjour !
Je trouve que vous vous compliquez bien la vie !
D'abord l'idée d'une famille dénombrable de segments pour le "par morceaux" me laisse sceptique : il faudrait alors dans chaque énoncé ajouter un truc du genre "si la série ... est convergente".

Il me paraît plus naturel de dire que la fonction f est continue par morceaux sur [x,1] lorsque x>0 et bornée sur l'intervalle ouvert ]0,1]. Alors x\mapsto\int_x^1f est lipschitzienne donc a une limite finie (condition de Cauchy) en 0.
Ce qui montre 1) la convergence de l'intégrale 2) la convergence de la suite n\mapsto\int_{\frac1n}^1f.

Autre point de vue : soit f_n définie par f_n(t)=1 sur [0,\frac1n], f_n(t)=f(t) sinon.
La suite (f_n) est décroissante et le théorème de convergence monotone (ou dominée) s'applique (mais pas dans la forme appauvrie des prépas puisqu'il faut établir - à priori - que la limite simple est continue par morceaux !)



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