Bonjour,
J'aurai besoin d'une vérification d'un résultat (n'ayant pas la correction). Je n'ai pas de logiciel qui me sort la valeur de l'intégrale que je cherche, donc je fais appel à vous. Merci d'avance à ceux qui auront le courage de m'aider
Existence et calcul de
Ce qui j'ai fait :
Je pose
changement de variable et je découpe l'intervalle d'intégration en segments de longueur 1 :
La deuxième intégrale n'est pas gênant et tend vers 0 donc on s'occupe de la première qui donne, après simplification (sachant que E(u)=k sur chaque segment) :
On a ainsi l'existence.
Finalement
Est-ce bon ?
Merci d'avance.
salut
c'est quoi T ?
j'aurais plutôt écrit ::
01 ... =
1+
1/n+11/n ....
il est alors aisé d'avoir E(1/x) sur chacun des intervalles [1/(n+1), 1/n]
avec cette méthode tu pourras comparer avec ta méthode ..
Salut carpediem,
oui coco75 le résultat est juste mais la présentation n'est pas tip top. Tu ne voulais pas plutôt intégrer entre 1/T et 1 au lieu de 0 et 1/T ?
@gui_tou : Oh oui ! C'est bien ça ! haha sinon ça n'a aucun sens
@carpediem : effectivement, ta méthode est plus rapide !
Merci !
ok je comprends mieux :: "mes" bornes correspondent à ton "1/T"
oui car la partie entière est constante sur chacun de mes intervalles définies par les bornes d'intégration :: on a donc immédiatement une primitive ln(x) - nx ....
de rien et au plaisir
et salut à gui_tou
"Je n'ai pas de logiciel qui me sort la valeur de l'intégrale que je cherche"
Xcas se contente d'une grossiere approximation:
romberg(1/x-floor(1/x),x,0,1) renvoie [0.422991232764,0.42166268683]
et le message:
Adaptive method failure, will try with Romberg, last approximation was 0.422991232764
Limite aux bornes est infinie ou indéfinie.
On utilise la méthode de Romberg avec le point milieu
Impossible de touver l'intégrale numérique avec Romberg, on renvoie la dernière approximation
En revanche il est posible de faire:
sum(romberg(1/x-floor(1/x),x,1/(n+1),1/n),n,1,10000)
qui renvoie 0.422734340923
à rapprocher de 1.0-euler_gamma qui vaut approximativement 0.422784335098
Bonjour,
Le fait que l'on ait une singularité en le point ne gêne absolument personne. Il s'agit en fait de la partie "Existence" de cette intégrale impropre qui n'a pas été traitée convenablement.
Avec tout mon respect,
T. Poma
Salut ThierryPoma,
Je croyais pourtant l'avoir traité (dans mon tout premier post, j'ai fait une erreur sur la définition de IT). J'ai :
qui existe bel et bien.
Et j'arrive à , ce qui prouve bien l'existence non ?
par définition de la partie entière on a 0 =< x - E(x) < 1 sur R .....
cette fonction est donc bornée et continue par morceaux ...
Bonjour à tous.
Rien à dire sur l'intégrale, mais j'ai un petit problème de terminologie... Dans "continu par morceaux" on n'impose pas une subdivision finie?
Oh, si tu prends des intervalles non singletons, elle reste dénombrable! En fait je n'ai jamais vraiment su... Wiki prend une subdivision finie... Evidemment ça n'a aucune importance, mais en ces temps d'oraux, il ne faudrait pas faire d'abus de langage!
oui "au plus dénombrable" ... même si il y a un point d'accumulation (nul) qui peut poser pb ....
mais sur l'intervalle ]0, 1/n] f est bornée par 0 et 1 (comme sur [1/n, 1] d'ailleurs)
donc le reste de l'intégrale est compris entre 0 * 1/n et 1 * 1/n qui tend vers 0
ce me semble-t-il ....
Bonjour,
J'ai le même exo...mais je ne comprends pas vos méthodes ...
coco75 (qui n'est plus) je ne comprends pas tes bornes... et carpediem dans ton indication...ne te manque t il pas un moins ?
Merci de bien vouloir m'expliquer.
posons donc
1/ 0 =< 1/x - E(1/x) < 1 donc si I existe alors 0 < I < 1
2/ la somme est monotone croissante et bornée donc convergente
donc I existe
Bonjour !
Je trouve que vous vous compliquez bien la vie !
D'abord l'idée d'une famille dénombrable de segments pour le "par morceaux" me laisse sceptique : il faudrait alors dans chaque énoncé ajouter un truc du genre "si la série ... est convergente".
Il me paraît plus naturel de dire que la fonction est continue par morceaux sur
lorsque
et bornée sur l'intervalle ouvert
. Alors
est lipschitzienne donc a une limite finie (condition de Cauchy) en 0.
Ce qui montre 1) la convergence de l'intégrale 2) la convergence de la suite .
Autre point de vue : soit définie par
sur
,
sinon.
La suite est décroissante et le théorème de convergence monotone (ou dominée) s'applique (mais pas dans la forme appauvrie des prépas puisqu'il faut établir - à priori - que la limite simple est continue par morceaux !)
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :