Niveau Licence-pas de math

Intégrale Changement de variable

Posté par
Kokux0503 08-09-22 à 13:15

Bonjour,

Je cherche à désespérément à calculer l'intégrale suivante. J'ai l'impression d'avoir le bon raisonnement mais je bloque à partir d'un certain point.

Je dois donc calculer ceci : $\int_{}^{}{x^2\exp(-\lambda(x-a)^2).dx}$ .
J'avais pensé à un changement de variable pour essayer de trouver : $\int_{}^{}{\exp(-x^2)}dx = \sqrt{\pi}$ .
Comme changement de variable j'avais donc pensé à prendre : y = $\sqrt{\lambda}(x-a)$ . Le problème c'est que quand je remplace x^2 et bien je me retrouve avec : $x = y/\sqrt{\lambda} + a$ , ce qui pose problème pour continuer car j'ai l'impression de tourner en rond.

Est-ce que mon changement de variable est judicieux ?

Merci pour votre aide,

Cordialement,
Kokux

Posté par re : Intégrale Changement de variable 08-09-22 à 14:05

Si tu multiplies ton intégrale par un certain facteur, ton calcul consiste à calculer $E((X-a)^2)$ avec X une v.a de loi normale $N(a, r^2)$ avec un r que je te laisse chercher.

Si tu ne connais que la N(0,1), tu peux aussi écrire

$x^2 = (x-a)^2 - 3a^2 - 2a(x-a)$

L'intégrale que tu cherches est donc égale à

$\int_{-\infty}^{+\infty}(x-a)^2\exp(-\lambda(x-a)^2)dx - 3a^2\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\lambda(x-a)^2)dx - a\int_{-\infty}^{+\infty}2(x-a)\exp(-\lambda(x-a)^2)dx$ .

Dans les trois intégrales, tu peux faire le changement de variable $u = x-a$ et ce que tu cherches est donc

$\int_{-\infty}^{+\infty}u^2\exp(-\lambda u^2)dx - 3a^2\int_{-\infty}^{+\infty}\exp(-\lambda u^2)dx - a\int_{-\infty}^{+\infty}2u\exp(-\lambda u^2)dx$

La deuxième intégrale est facilement calculable en connaissant la valeur, fameuse, de $\int_\R e^{-t^2}dt$ .
La troisième, est à un facteur multiplicatif près l'intégrale d'une fonction de la forme f' * exp(f), dérivée de exp(f)

La première, si tu la multiplies par ce qu'il faut, tu peux l'interprééter comme $E(X^2)$ où X est un v.a de loi normale N(0,1). Qui est aussi sa variance, puisque la moyenne est nulle, donc 1.