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Intégrale, changement de variable et IPP

Posté par
caroline13 07-06-15 à 14:45

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à trouver sur quel piste partir concernant cet exercice:

Soit f(x) = x ln(1 - x^2) /\sqrt{1 - x^2} et I=\int f(x)dx

1) Effectuer le changement de variable x=sin(t) avec -\pi /2 < t < \pi /2

2) Calculer l'intégrale obtenue en intégrant par partie et en déduire la valeur de I


Est ce que l'intégrale deviens bien ?

I=\int_{-\pi /2}^{\pi/2}sin(t)*ln(1-sin^2(t))cos(t)dt/\sqrt{1-sin^2(t)}

Si oui, je ne vois pas du tout la suite...
Si non je ne sais même pas effectuer le changement de variable alors c'est pas gagné...

Merci à tous de prendre le temps de m'éclaircir

Posté par
carpediemre : Intégrale, changement de variable et IPP 07-06-15 à 14:48

salut

il suffit de retourner au collège pour se rappeler que cos^2x + sin^2 = 1 ....

Posté par
carpediemre : Intégrale, changement de variable et IPP 07-06-15 à 14:55

quelles sont les bornes de I ? (l'intégrale initiale)

u(x) = ln(1 - x^2) => u'(x) = \dfrac {-2x}{1 - x^2}

v'(x) = \dfrac x{\sqrt{1 - x^2}} \ donc \ v(x) = -\sqrt {1 - x^2}

donc I = [-\sqrt{1 - x^2}ln(1 - x^2)]_a^b + \2int_a^b \dfrac {-2x}{2\sqrt {1 - x^2}}dx = ....

ce me semble-t-il ...

Posté par
carpediemre : Intégrale, changement de variable et IPP 07-06-15 à 14:56

quelles sont les bornes de I ? (l'intégrale initiale)

u(x) = ln(1 - x^2) => u'(x) = \dfrac {-2x}{1 - x^2}

v'(x) = \dfrac x{\sqrt{1 - x^2}} \ donc \ v(x) = -\sqrt {1 - x^2}

donc I = [-\sqrt{1 - x^2}ln(1 - x^2)]_a^b + 2\int_a^b \dfrac {-2x}{2\sqrt {1 - x^2}}dx = ....

ce me semble-t-il ...

Posté par
caroline13re : Intégrale, changement de variable et IPP 07-06-15 à 16:08

L'intégrale initiale est indéfinie

Posté par
luzakre : Intégrale, changement de variable et IPP 07-06-15 à 17:25

Bonjour !
Si l'intégrale initiale est indéfinie, pourquoi écris-tu \int_{-\frac{\pi}2}}^{\frac{\pi}2}} ?

Il me semble qu'en utilisant la remarque de carpediem et enlevant les bornes ton changement de variables est correct !

Posté par
caroline13re : Intégrale, changement de variable et IPP 07-06-15 à 18:49

en effet I est une intégrale indéfinie, mais dans la première question il est demandé d'effectuer un changement de variable avec x=sin (t) et -/2 < t </2

Il me semblait donc qu'en effectuant le changement de variable je devais par la même occasion mettre les bornes à l'intégrale.

Merci pour votre aide Carpediem et Luzak

Posté par
luzakre : Intégrale, changement de variable et IPP 08-06-15 à 10:25

Bonjour !
L'encadrement de t qu'on te suggère est classique : tu as ainsi TOUTES les valeurs (et une seule fois) de x dans [-1,1], ce que tu aurais dû dire dès le début (définition de la fonction proposée).

Par ailleurs l'encadrement de t te facilite le calcul des racines carrées (si tu n'as pas vu le piège il faut y réfléchir).

Posté par
caroline13re : Intégrale, changement de variable et IPP 08-06-15 à 10:48

Merci encore, a moi de jouer maintenant


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