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Niveau maths spé
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Intégrale complexe liée à l'intégrale de Gauss

Posté par
EvaristeG
29-11-10 à 18:36

Soit z un complexe dont la partie réelle est strictement positive.
Il faut montrer que ((0 à +) exp(-t²z)dt)²=/4z. On pourra admettre que (0 à +) exp(-t²)dt= /2.

Je suis tenté d'utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral, mais le problème de la dérivation complexe se pose...

Posté par
Foxdevil
re : Intégrale complexe liée à l'intégrale de Gauss 30-11-10 à 14:20

Bonjour EvaristeG,

Oui c'est vrai que sans l'analyse complexe, j'ai du mal à voir comment établir ce résultat. Pour info, il est vrai qu'on s'en sort avec un équivalent du théorème de dérivation sous le signe intégral version holomorphe (dérivation complexe). On peut également s'en sortir avec le prolongement analytique (toujours de l'analyse complexe)....

Pourrais-tu stp préciser dans quel contexte de cours cet exo a été posé? Et quels sont à priori les théorèmes à ta disposition?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Intégrale complexe liée à l'intégrale de Gauss 30-11-10 à 14:22

Bonjour

Je commencerais par dire qu'il existe u complexe tel que w^2=z et faire le changement de variable u=t/w dans \bigint_0^\infty e^{-t^2/z}dt

Il faut voir à quel moment on se sert de l'hypothèse Re(z) > 0. Elle doit assurer une convergence, donc il sera peut-être nécessaire de bien choisir la "racine" w.

Posté par
Foxdevil
re : Intégrale complexe liée à l'intégrale de Gauss 03-12-10 à 12:25

Le changement de variable complexe me parait quand même légèrement nécessaire à justifier....non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Intégrale complexe liée à l'intégrale de Gauss 03-12-10 à 14:37

Si l'existence de l'intégrale de l'énoncé est acquise, je ne vois pas en quoi un bête changement linéaire poserait problème...

Posté par
jandri Correcteur
re : Intégrale complexe liée à l'intégrale de Gauss 03-12-10 à 15:26

Bonjour,

Il y a une petite erreur, l'intégrale proposée est égale à la racine carrée de 4$\frac{\pi}{4z}.
On peut le démontrer avec le programme de spé (sans l'analyse complexe) en posant z=x+iy et en dérivant sous le signe intégral 4$f(y)=\int_0^{\infty}e^{-(x+iy)t^2}dt.
On obtient 4$f^'(y)=\int_0^{\infty}(-it^2)e^{-(x+iy)t^2}dt=\frac{-i}{2(x+iy)}f(y) en intégrant par parties.
Il n'y a plus qu'à résoudre l'équation différentielle (linéaire du premier ordre) pour obtenir avec 4$f(0)=\frac12\sqrt{\frac{\pi}{x}}:
4$f(y)=\frac{\sqrt{\pi}}2e^{-\frac14\ln(x^2+y^2)-\frac i2\arctan(\frac yx)}=\frac{\sqrt{\pi}}2e^{-\frac12\ln|z|-\frac i2\arg(z)}.



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