Soit z un complexe dont la partie réelle est strictement positive.
Il faut montrer que ((0 à +
) exp(-t²z)dt)²=
/4z. On pourra admettre que
(0 à +
) exp(-t²)dt=
/2.
Je suis tenté d'utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral, mais le problème de la dérivation complexe se pose...
Bonjour EvaristeG,
Oui c'est vrai que sans l'analyse complexe, j'ai du mal à voir comment établir ce résultat. Pour info, il est vrai qu'on s'en sort avec un équivalent du théorème de dérivation sous le signe intégral version holomorphe (dérivation complexe). On peut également s'en sortir avec le prolongement analytique (toujours de l'analyse complexe)....
Pourrais-tu stp préciser dans quel contexte de cours cet exo a été posé? Et quels sont à priori les théorèmes à ta disposition?
Bonjour
Je commencerais par dire qu'il existe u complexe tel que et faire le changement de variable u=t/w dans
Il faut voir à quel moment on se sert de l'hypothèse Re(z) > 0. Elle doit assurer une convergence, donc il sera peut-être nécessaire de bien choisir la "racine" w.
Si l'existence de l'intégrale de l'énoncé est acquise, je ne vois pas en quoi un bête changement linéaire poserait problème...
Bonjour,
Il y a une petite erreur, l'intégrale proposée est égale à la racine carrée de .
On peut le démontrer avec le programme de spé (sans l'analyse complexe) en posant z=x+iy et en dérivant sous le signe intégral .
On obtient en intégrant par parties.
Il n'y a plus qu'à résoudre l'équation différentielle (linéaire du premier ordre) pour obtenir avec :
.
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