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Intégrale convergente de fonction périodique

Posté par
QuB 13-10-18 à 14:46

Bonjour,

Je bloque sur une question qui m'est posée :

f : \rightarrow une fonction continue et périodique. On suppose que \int_{0}^{+infini}{f(x)dx} est  convergente. Montrer que f(x) = 0 pour tout x .

J'ai réfléchi à beaucoup de critères mais aucun ne semble vraiment m'aider car on ne sait rien du signe de f(x).

Merci de votre future aide

Posté par
Schtromphmolre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 15:09

Bonjour,

Déjà tu peut écrire F(t) = \int_0^t f(x)dx, que l'intégrale converge signifie que \lim_{t\rightarrow +\infty} F(t) est définie et finie. Or tu sais que f est périodique, disons de période T, donc  pour tout t \in \R, F(t) = nF(T) + F(t') avec t = nT + t' et t' \in [0,t[.

Tu peux déjà conclure que si l'intégrale converge, F(T) = 0, F est donc périodique, ce qui permet de conclure.

Posté par
QuBre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 15:18

Bonjour,

Merci beaucoup de l'aide. Je vais travailler dessus.

Posté par
carpediemre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 15:20

salut

pour tout réel positif a : \int_0^{+ \infty} f(x)dx = \int_0^a f(x)dx + \sum_n \int_{a + nT}^{a + (n + 1)T} f(x)dx

or le terme dans la somme est une constante ...

Posté par
QuBre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 15:31

Bonjour Carpediem :

Je pense que votre formule peut mener à confusion :
On pourrait affirmer en allant rapidement que l'intégrale de cos(x) converge :
Cos de période 2pi, on choisit a = 2pi
\int_0^{+ \infty} f(x)dx = \int_0^{2pi} f(x)dx + \sum_n \int_{2pi + n2pi}^{2pi + (n + 1)2pi} f(x)dx = 0 +  \sum_n \ 0

Bien sûr, c'est faux car le deuxième terme serait uniquement une somme de termes qui tendent vers 0, ce qui ne veut pas dire que cela converge.

Posté par
luzakre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 15:38

Oui, mais si la constante est nulle, tu ne prouves rien.

Supposons f(a)>0 : par continuité, il existe b>a tel que \int_a^bf\geqslant K>0.

Critère de Cauchy :
Soit 0<\varepsilon<K, \;x_0 tel que x_0<x<y\implies\bigl| \int_x^yf\Bigr|<\varepsilon.
Pour y=b+nT,\;x=a+nT>x_0 on a une contradiction !

Posté par
QuBre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 15:47

Oui, c'est ce que j'essayais de dire luzak dans ma réflexion sur le cos

Merci

Posté par
carpediemre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 17:05

il n'y a ni confusion, ni affirmation gratuite ...

par hypothèse \int_0^{+ \infty} f(x)dx = L est fini puisque convergente ...

la fonction cos ne vérifie pas cela !!!

ensuite j'ai écrit pour tout réel a

Posté par
carpediemre : Intégrale convergente de fonction périodique 13-10-18 à 17:08

et ce que j'ai écrit est vrai que f soit périodique ou non : c'est la relation de Chasles ...


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