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intégrale d un polynôme complexe

Posté par érable (invité) 12-10-05 à 22:25

Bonjour,

Voici mon intégrale complexe (entre 0 et +):
Z=dx/(4i-c2x2 )

Et le résultat (qui n'est pas de moi) est le suivant:

Z= (2/C2)0.5 (1-i)

Les paramètres C, et son indépendants de la variable x. Mon problème est que je ne suis pas arrivé à retrouver ce résultat, je pensais trouver un résultat en logarithme mais apparemment je suis dans les champs.

J'apprécierai tout calcul intermédiaire qui pourrait me mener au résultat. Merci d'avance

Posté par
ottore : intégrale d un polynôme complexe 12-10-05 à 23:30

Bonjour,
je ne vois pas de polynôme mais une fraction rationnelle.
Ensuite si tu es dans le domaine complexe, il faut savoir sur quelle variable tu intègres, et suivant quel chemin.

Posté par Babou14 (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 12-10-05 à 23:39

Non il intègre une variable réelle je pense pas que ça soit un souci... Par contre pour le résoudre on doit sans doute définir un chemin bien senti! et utiliser la formule des résidus pour cette fonction qui est holomorphe (mon idée serait d'intégrer en suivant des demi-cercles dont le diamètre est le segment [O,X] pour X tendant vers l'infini... Enfin si on n'a pas fait de fonctions holomorphes c difficile

Posté par
ottore : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 00:20

Excuse moi, mais ca ne colle vraiment pas:

Si tu intègres entre l'infini et 0 c'est que tu es sur une droite dans le plan complexe, il faudrait la définir.
Si tu intègres, c'est par rapport à une variable, ici tu me dis que c'est x, mais elle n'apparait jamais, donc tout ce qui est dans ton intégrale est constant et tu peux le sortir, or, ca ne semble pas être le cas.
Si tu veux intégrer le long d'un cercle, c'est que tu te déplaces à la fois sur x et sur y, de sorte que x^2+y^2=r^2, or tu me dis que tu intègres par rapport à x.

Si ta fonction est holomorphe, c'est qu'elle est dérivable au sens complexe, hors tu me parles d'intégrer par rapport à x, ce qui n'a pas de sens, sauf si tu es sur l'axe réel.

Je ne pige vraiment pas tout, essaie d'être plus clair stp.
A+

Posté par érable (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 00:39

rebonjour,

merci pour vos réponses rapides. l'intégrale était un peu incomplète :

Z=(8i/)dx/(4i-c2x2 )

Et le résultat (qui n'est pas de moi) est le suivant:

Z=R-iT= (2/C2)0.5 (1-i)

Ma variable est bien x et c'est un réel, désolé
je parlais de complexes car j'ai une partie imaginaire et un partie réelle....je me rends compte qu'il vaut mieux que surveille mon vocabulaire.

je vais dans mon dico pour chercher holomorphe....

Posté par
ottore : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 00:50

Salut,
probablement que tu peux utiliser la formule de dérivation sous l'intégrale, à savoir qu'il y'a un rapport entre
f(w) et \int_c \frac{f(z)}{(z-w)}^2

Posté par Babou14 (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 01:02

On est bien d'accord qu'il n'y a pas de soucis à définir cette intégrale et que ce que j'ai dit est correct! juste il avait mal écrit c2x2 pour c²x²...

En fait il s'agit tout simplement d'intégrer 1/(i-x²) à changement de variable près. Je suggère de mettre cette fraction rationnelle comme somme d'éléments simples, sachant que le calcul de la somme de 0 a l'infini de 1/a-x avec a complexe n'est pas compliqué

Posté par érable (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 01:10

Hello otto,

Je ne suis pas sûr de comprendre, je dérive f(x) par rapport à x? esrt-ce qu'un changement de variable est envisageable?

f(x)=(8i/)/(4i-c2x2 )

Z= f(x) dx ; intégration de la variable x entre 0 et l'infini  

..et l'auteur du livre qui a donné le résultat disait que c'était simple! eh bien il a le sens de l'humour.

Posté par Babou14 (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 01:16

mais oui c simple il suffit de garder la tête froide et de retirer toutes les constantes inutiles qui ne servent qu'à nous embrouiller!

Posté par érable (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 01:20

Tu viens de me donner la deuxième règle de ce forum, après ne parle pas dans te barbe, c'est au tour de : enlève les moufles pour écrire les équations.

Pour résumer je vais faire ma "petite" division polynomiale (c'est correct si je dis ça car maintenant je me méfie?)

A+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 04:42

Bonsoir;
c,\lambda et \omega sont-ils réels ou complexes ? et s'ils sont réels sont-ils positifs ou de signe quelconque ?

Posté par Babou14 (invité)re : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 10:33

Ce sont des constantes physiques donc réelles positives

Posté par
ottore : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 15:58

Je t'ai donné une fausse indication, dans ma tête, le carré prenait toute la paranthèse.
En fait supposons tu aies un truc de la forme \frac{1}{a^2-x^2} x pouvant être complexe, c'est juste pour visualiser ce qui se passe que j'ai mis un signe moins.
Alors tu es d'accord que c'est aussi égal a
\frac{\frac{1}{a-x}}{a+x}
En posant f(z)=\frac{1}{a-z} et g(z)=\frac{1}{a+z}
ton intégrale devient alors en utilisant la formule de Cauchy:
\int \frac{f(z)dz}{a+z} + \int \frac{g(z)dz}{a-z}= 2i \pi (f(-a)-g(a))
Sauf erreurs de calcul ma part, mais l'idée est là.

A+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale d un polynôme complexe 13-10-05 à 22:39

Rebonsoir;
érable;dans l'intégrale \lambda et \omega jouent un role absolument identique et il n'y a aucune raison,à mon avis,pour que dans l'expression donnant la valeur de cette intégrale l'un figure au numérateur et l'autre au dénominateur.Un deuxième argument serait de remarquer qu'en faisant tendre \omegavers +\infty le module de la fonction intégrée tend vers 0 donc l'intégrale aussi alors que dans le résultat que tu donnes cette intégrale tendrait plutot vers +\infty .

Sauf erreurs bien entendu...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale d un polynôme complexe 14-10-05 à 03:42

3$\fbox{Z=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{4i\pi\lambda\omega-c^2x^2}=\frac{1}{4\pi\lambda\omega}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{i-(\frac{cx}{2sqrt{\pi\lambda\omega}})^2}} et avec le changement de variable 2$\fbox{t=\frac{cx}{2sqrt{\pi\lambda\omega}}} on a que:
3$\fbox{Z=\frac{1}{2sqrt{\pi\lambda\omega c^2}}\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{i-t^2}}
on a 3$\fbox{\frac{1}{i-t^2}=\frac{-t^2-i}{1+t^4}} d'où 3$\fbox{\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{i-t^2}=-\int_{0}^{+\infty}\frac{t^2dt}{1+t^4}-i\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}=-A-iB}
si on effectue dans B le changement de variable 2$\fbox{t=\frac{1}{u}} on s'aperçoit que 2$\fbox{A=B} et donc que
3$\fbox{2A=A+B=\int_{0}^{+\infty}\frac{t^2+1}{1+t^4}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}(\frac{1}{t^2+t\sqrt2+1}+\frac{1}{t^2-t\sqrt2+1})dt=\frac{1}{sqrt2}[arctan(t\sqrt2+1)+arctan(t\sqrt2-1)]_{0}^{+\infty}=\frac{\pi}{sqrt2}}
on en déduit donc que 3$\fbox{\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{i-t^2}=-\frac{\pi}{2sqrt2}(1+i)} et donc que 5$\blue\fbox{Z=\frac{1}{4}sqrt{\frac{\pi}{\lambda\omega c^2}}e^{\frac{5i\pi}{4}}}

Sauf erreur bien entendu


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