Niveau Maths sup

integrale d'une fct periodique

Posté par
Yosh2 09-05-21 à 20:53

bonjour
je dois montrer que pour f continue sur [a,b] et de période T , on a $lim \int_{a}^{b}f(nx)dx = \frac{b-a}{T} \int_{a}^{b} f(x)dx$
j'ai fait le changement de variable t=nt , j'obtiens $\frac{1}{n}\int_{na}^{nb} f(t)dt= \frac{1}{n}\int_{na}^{k_1T} f(t)dt + \frac{1}{n}\int_{k_1T}^{k_2T} f(t)dt + \frac{1}{n}\int_{k_2T}^{nb} f(t)dt$ , les deux termes des extremites vont tendre vers 0, on s'interesse au terme du milieu $\frac{1}{n}\int_{k_1T}^{k_2T} f(t)dt = \frac{1}{n}\sum_{k=k_1}^{k_2-1} \int_{kT}^{(k+1)T} f(t)dt = \frac{1}{n}\sum_{k=k_1}^{k_2-1} \int_{0}^{T} f(t)dt = \frac{k_2-k_1}{n}\int_{0}^{T}f(t)dt$ puis a partir de l'encadrement $(k_1-1)T <= na <= k_1T et k_2T <= nb <= (k_2+1)T$ j'obtiens $lim \frac{k_2-k_1}{n} = \frac{b-a}{T}$ donc $]lim \int_{a}^{b}f(nx)dx = \frac{b-a}{T} \int_{0}^{T} f(x)dx$ , avec des bornes différentes de l'énoncé . ai je commis une erreur ? est ce une faute d'énoncé?
merci a vous

Posté par re : integrale d'une fct periodique 09-05-21 à 21:50

salut

c'est la même chose que dans l'autre post et on peut faire plus simple :

il existe un entier q tel que $na + qT \le nb < na + (q + 1)T$

donc $I = \dfrac 1 n \int_{na}^{nb} f(t)dt = \dfrac 1 n \left( \sum_0^q \int_{na}^{na + T} f(t)dt + \int_{na + qT}^{nb} f(t)dt \right)$

et je trouve donc comme toi ...

REM : q est la partie entière de n(b - a)/T ...

Posté par re : integrale d'une fct periodique 09-05-21 à 22:29

Bonjour,

c'est bien $\int_0^Tf(x)dx$ qui figure dans le résultat.

D'ailleurs $f$ est continue sur $\R$ , pas seulement sur $[a,b]$ .

Cet exercice est une généralisation de celui que Yosh2 a déjà proposé avec $f(x)=|\sin(x)|$ qui a pour période $\pi$ .

On peut généraliser encore plus : si $f$ est continue sur $\R$ de période $T$ et si $g$ est continue sur $[a,b]$ alors la limite de la suite $\int_{a}^{b}f(nx)g(x)dx$ est égale à $\frac1T\int_0^Tf(x)dx \int_{a}^{b} g(x)dx$ .

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