Niveau maths spé

Intégrale d'une fonction étagée positive

Posté par
Yona0404 28-09-23 à 11:44

Bonjour!!

On cherche à démontrer la proposition :

f étagée positive, mesure positive, alors:

$\int_{X}^{}{f d\mu =0} \Leftrightarrow \mu (\{f\neq 0\})=0$

Dans la démonstration de l'implication " ", on a commencé par écrire:

$\int_{X}^{}{f d\mu}=\sum_{i=1}^{N}{\alpha_i \mu (A_i)}$

avec les $\alpha_i \in f(X)$ qqsoit i et $(A_i)_{i\in \{1,...,N\}}$ partition de X

Et ensuite on a cette remarque:

$\mu (\bigcup_{i; \alpha_i \neq 0}^{}{A_i})=\mu (\{f\neq 0\})$

Pourquoi on a cette égalité?

Merci d'avance!!

Posté par re : Intégrale d'une fonction étagée positive 28-09-23 à 12:37

salut

parce que lorsqu'une union est disjointe la mesure d'une union est la somme des mesures

l'indiçage est malheureux :

notons A l'ensemble des valeurs prises par f et $A_a = \{ x \in X / f(x) = a \}$ avec $a \in A$

alors $f = \sum_{a \in A} a1_{A_a}$ (indicatrice)

et $\int_X f dm = \sum_{a \in A} m(A_a) = m(A_0) + \sum_{a \in A - \{0\}} m(A_a) = m(A_0) + m (\{f \ne 0\})$

Posté par re : Intégrale d'une fonction étagée positive 29-09-23 à 00:43

Bonjour carpediem!
C'est compris!! Merci beaucoup!! ^^

Posté par re : Intégrale d'une fonction étagée positive 29-09-23 à 17:44

de rien

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse en post-bac
21 fiches de mathématiques sur "analyse" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Intégrale d'une fonction étagée positive

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths