Niveau maths spé

Intégrale d'une fonction étagée positive

Posté par
Yona0404 28-09-23 à 11:44

Bonjour!!

On cherche à démontrer la proposition :

f étagée positive, mesure positive, alors:

$\int_{X}^{}{f d\mu =0} \Leftrightarrow \mu (\{f\neq 0\})=0$

Dans la démonstration de l'implication " ", on a commencé par écrire:

$\int_{X}^{}{f d\mu}=\sum_{i=1}^{N}{\alpha_i \mu (A_i)}$

avec les $\alpha_i \in f(X)$ qqsoit i et $(A_i)_{i\in \{1,...,N\}}$ partition de X

Et ensuite on a cette remarque:

$\mu (\bigcup_{i; \alpha_i \neq 0}^{}{A_i})=\mu (\{f\neq 0\})$

Pourquoi on a cette égalité?

Merci d'avance!!

Posté par re : Intégrale d'une fonction étagée positive 28-09-23 à 12:37

salut

parce que lorsqu'une union est disjointe la mesure d'une union est la somme des mesures

l'indiçage est malheureux :

notons A l'ensemble des valeurs prises par f et $A_a = \{ x \in X / f(x) = a \}$ avec $a \in A$

alors $f = \sum_{a \in A} a1_{A_a}$ (indicatrice)

et $\int_X f dm = \sum_{a \in A} m(A_a) = m(A_0) + \sum_{a \in A - \{0\}} m(A_a) = m(A_0) + m (\{f \ne 0\})$

Posté par re : Intégrale d'une fonction étagée positive 29-09-23 à 00:43

Bonjour carpediem!
C'est compris!! Merci beaucoup!! ^^

Posté par re : Intégrale d'une fonction étagée positive 29-09-23 à 17:44

de rien

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