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intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénombrable

Posté par
jbsph 06-03-25 à 14:04

Bonjour, savez-vous si on peut définir sur un ensemble E l'intégrale d'une fonction qui n'est pas définie en un point de E.
ie, soit f:[0,5]\backslash \{1\} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto 1
L'intégrale \int_{0}^{5}{f(t)dt} existe-elle (et par conséquent vaudrait 5) ?
Ou pour définir "cette" intégrale doit-on prolonger f en {1} (par une valeur arbitrairement choisie) ?

Posté par
carpediemre : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 06-03-25 à 16:22

salut

f est continue par morceaux (et bornée) donc intégrable ...

Posté par
jbsphre : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 07-03-25 à 10:51

une fonction continue par morceaux sur [0,5] ne doit pas être définie sur [0,5]? Ici ce n'est pas le cas, f n'est pas définie en 1 donc pas définie sur [0,5].

Posté par
matheux14re : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 07-03-25 à 20:16

Salut, par passage à la limite on peut vérifier si la limite \begin{aligned} \lim\limits_{\varepsilon \longrightarrow 0^+} \left(\int^{1 - \varepsilon}_0 f(x) d x + \int_{1 + \varepsilon}^5 f(x) d x\right)\end{aligned} existe.

Posté par
carpediemre : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 07-03-25 à 20:40

l'intégrale (de Riemann) sur [0, 5] est la même que sur ]0, 5] ou encore [0, 5[ ou encore [0, a[ U ]a, 5] pour tout a tel que 0 < a < 5

donc que f(a) existe ou pas ça ne change rien ... (du moment que f est bornée et continue)

Posté par
luzakre : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 08-03-25 à 10:32

bonjour matheux14 !
Ton approche n'est pas correcte si tu utilises le même \varepsilon dans les deux intégrales.

Avec cette technique tu trouverais que l(intégrale \int_{-1}^1\dfrac{\mathrm{d}x}x existe.

Posté par
matheux14re : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 08-03-25 à 10:54

Oui mais il semble que ça marche dans ce cas précis puisque f vaut 1 partout sur [0 ; 5] sauf en 1.

Posté par
luzakre : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 09-03-25 à 09:07

Un théorème pour chaque cas particulier ?
C'est une idée mais tu ne tiendras pas longtemps !

Posté par
candide2re : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 09-03-25 à 09:24

Bonjour,

Comme dit pas carpediem :

"f est continue par morceaux (et bornée) donc intégrable ..."

Dans le cas de la \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}, ce n'est pas applicable puisque f n'est pas bornée (tend vers -oo ou + oo pour x tendant vers 0)

Posté par
jbsphre : intégrale d'une fonction non définie sur un ensemble dénomb 09-03-25 à 10:42

Ok, merci beaucoup ! On peut donc dans ce cas définir une intégrale quand la fonction n'est pas définie partout mais presque partout.


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