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Intégrale d'une somme

Posté par
Emeraudes 04-02-10 à 20:49

Salut,

J'ai un petit exercice à résoudre, le voilà:

f(x) = \Bigsum_{n=0}^\infty~\e^(-n^2 x)

Df=]0,[

- Montrer que f est de classe C
- Déterminer \int_0^\infty (f(t)-1) dt

J'ai fait la première question, mais j'ai des probs consernant la deuxième, dois-je utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions positives? Et là je vois pas le rapport entre les deux questions, peuvent-elles être totalement indépendantes?

Posté par
gui_toure : Intégrale d'une somme 04-02-10 à 20:59

Salut,

Oui elles sont indépendantes.

En fait 3$\forall x>0\;f(x)-1=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\exp(-n^2x). Donc la seconde question est : calculer 3$\Bigint_0^{+\infty}\(\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\exp(-n^2x)\)\rm{d}x

Comme tu dis, un petit théorème d'intégration terme à terme et roulez jeunesse.

Sauf erreur

Posté par
Emeraudesre : Intégrale d'une somme 04-02-10 à 21:38

Merci beaucoup gui_tou pour ta réponse.


Donc en posant f_n(x) = e^{-n^2 x}

On a \Bigsum_{n>=1}f_n est une série de fcts positives, continues et intégrables sur ]0,+\infty[

Et f est intégrable sur ]0,+\infty[

Donc \Bigsum\Bigint_{n=0}^\infty~f_n converge

Et on a :
\Bigint_{n=1}^\infty~\Bigsum_{n=0}^\infty~e^{-n^2 x} dx = \Bigsum_{n=1}^\infty~\Bigint_{n=0}^\infty~f_n (x) dx
    
= \Bigsum_{n=1}^\infty~\Bigint_{n=0}^\infty~ e^{-n^2 x} dx
  
= \Bigsum_{n=1}^\infty~\frac{1}{n^2}
    
= \frac{\pi^2}{6}

Est-ce vrai cela? Est ce j'ai bien vérifié tout les hypothèses du théorème?

Posté par
gui_toure : Intégrale d'une somme 04-02-10 à 21:59

C'est correct, oui

Évite toutefois de mettre n=0 en borne inférieure de l'intégrale


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