Bonjour

Comme x > 1, pour t > x on a 1/x < 1/t d'où

Merci de m'avoir répondu mais je ne vois pas comment   =

Bonsoir,
Nous savons que: 1<x<=t<=x², ce qui entraine:
       ln(t)>0 sur [x;x²] et:
     xln(t)<=tln(t)<=x²ln(t), d'où:
Somme(x;x²)[1/x(ln(t))]dt>=I(x)>=Somme(x;x²)[1/(x²ln(t)]dt  (1)
  puis:
    F(x)/x>=ln(2)>=F(x)/x².
Attention les intégrations, dans (1) se font par rapport à t, donc x et x²
jouent le rôle de constantes.
Amicalement.

merci de votre aide

Je pourrais savoir si ma réponse à la question 2)b) est bonne et ensuite on me demande:
3c)trouver un encadrement analogue de F(x) pour x]0,1[ je ne sais pas si c'est bon mais j'ai trouvé x²ln2F(x)xln2??
et pour la limite de F en 1 j'ai trouvé ln2???

4a)Mq F(x)= sachant que la fonction g(g(0)=0) est le prolongement en 0 de f(x)=1/lnx et conclure de la limite de F en 0: j'ai mis que la fonction g est le prolongement de f en 0 donc x^*+-{1} f(x)=g(x) donc F(x)= (là je doute de ma réponse); pour la limite de F en 0 d'après les encadrements et donc le théorèmes d'encadrement je dirais que lim de F en 0 = 0 ( je suis pas sur)

5)En quels points peut être prolongé F par continuité ? j'ai mis en 0 avec F(0)=0 et F(1)=ln2 ???
les prolongements obtenus sont dérivables??? là je sais par car avec le taux d'accroissement quand j'essaie de calculer la limite de ce taux j'ai des F.I.

Merci à ceux qui me répondront.

Bonsoir,
Retour sur 2,b):
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pour 1<x<x², f:t->1/ln(t) décroit de 1/ln(x) à 1/2ln(x).
F(x)=aire du domaine défini par:
            x<=t<=x²
            1/ln(x)>f(t)>1/Ln(x²)
Ce domaine contient le domaine défini par:
            x<=t<=x²;
             y=1/ln(x²) (rectangle).
Donc:
       F(x)>=(x²-x).(1/ln(x²)).

Pour 3,c):
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  Lorsque x tend vers 1, il y a deux cas:
              1<x<x² (a) où 0<x²<x<1 (b).
Cas a).
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    x=1+a (a>0).
          ln(2)<(1+a).ln(2)<F(1+a)<(1+a)².ln(2).
Si a tend vers 0, (1+a).ln(2) et (1+a)².ln(2) tendent vers (ln(2))+,
     donc si x tend vers a+, F(x) tend vers (ln(2))+.
Cas b).
=======
  x=1-a (a>0).
      (1-a)²ln(2)<F(1-a)<(1-a)ln(2)<Ln(2).
Cette fois-ci:
     Si x tend vers 1-, F(x) tend vers (ln(2))-.
En réunissant les cas a) et b),on trouve:
     Si x tend vers 1, F(x) tend vers ln(2).
On peut donc poser F(1°=ln(2).


Pour 4,a):
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       0<x²<x<1. Sur ]0;1[: ln(t)<0, (1/ln(t))<0, (1/(-ln(t))>0.
  F(x)=Somme(x;x²)[1/ln(t)dt]=Somme(x²;x)[(1/-ln(t))dt]  (1).

  Si t tend vers 0+,ln(t) tend vers -oo, 1/ln(t) tend vers 0-,1/-ln(t)
tend vers 0+.la fonction t->1/(-ln(t)) étant continue sur ]0;1[, on
peut la prolonger en 0 par continuité et considérer la fonction h
définie sur [0;1[par:
              h(0)=0 et h(t)=1/(-ln(t)) si t€]0;1[.
    On obtient alors:
          F(x)=Somme(x²;x)[h(t)dt]
Pour tout e tel que 0<e<1, il existe a>0 tel que:
                 0<t<a<1=> 0<h(t)<e.
  Prenons x et x² tels que:
            0<x²<x<a
  Nous obtenons:
   Somme(x²,x)[h(t)]dt<a.e,
donc Lim(x->0+)F(x)=0.En conclusion,on peut prolonger F en 0,par
continuité, et poser F(x)=0.

5°)
F est maintenant définie et continue sur[0;+oo[, avec:
        F(0)=0  et F(1)=ln(2).
Je stoppe pour ce soir. Je vous donnerai des indications sur la suite plus tard.
  Amicalement.