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Niveau Maths sup
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intégrale de x^p(1-x)^q

Posté par
disz
01-08-21 à 11:47

Bonjour  je vous demande de l'aide pour l'exercice suivant :

Pour tous  p,q dans N, on pose :

I_{p,q}=\int_{0}^{1}{}x^p(1-x)^q dx

1) Montrer que   :I_{p,q}=\frac{q}{p+1}I_{p+1,q-1}
pour tous p dans N et q dans N* ( on la trouve à l'aide d' une IPP)

2) En deduire une expression explicite de [tex}I_{p,q}[/tex] en fonction de p et q  pour tous p et q dans N

Je trouve ici I_{p,q}=\frac{q!p!}{(p+q)!} *\frac{1}{p+q+1}

3) EN déduire une  expression simplifiée de la somme :
\sum_{k=0}^{q}{\begin{pmatrix}q \\ k \end{pmatrix}}\frac{(-1)^k}{p+k+1}
pour tous p,q dans N

Je coince à la 3  Je comprend que je dois injecter MOn intégrale dans la somme  pour inverser  mon signe  intégrale et somme.
Cependant les coefficient  binomiaux  me bloque carrément
je remplace \frac{1}{q+k+1} par  
I_{k,q}*\frac{(k+q)!}{k!p!}

et la je suis perdu . Merci de votre aide

Posté par
disz
re : intégrale de x^p(1-x)^q 01-08-21 à 12:03

je viens de voir que mon remplacement est faux

Posté par
Zrun
re : intégrale de x^p(1-x)^q 01-08-21 à 13:25

Effectivement, tu mélanges k, p et q dans ton remplacement .

Posté par
disz
re : intégrale de x^p(1-x)^q 01-08-21 à 13:54

Même  en ne les mélangeant pas je suis bien coincer

Posté par
disz
re : intégrale de x^p(1-x)^q 01-08-21 à 14:00

Je viens de trouver il fallait développer le (1-x)^k



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