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Intégrale de Dirichlet

Posté par
g0217d 01-04-23 à 17:56

Bonjour,
Je suis sur la correction d'un exercice sur l'intégrale de Dirichlet \int_{0}^{+\infty}\ \frac{\sin t}{t} dt, en utilisant F : x \mapsto \int_0^{+\infty}  \frac{\sin t}{t} e^{-xt} dt. J'ai deux questions, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
La 1ère étape consiste à montrer que F est bien définie sur \mathbb{R_+^*}. Dans la deuxième étape, on montre que \forall x >0, F(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan x, en passant par le fait que F \in \mathcal{C}^1 sur tout intervalle du type ]a, +\infty[, a > 0, par domination ; donc F \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+^*). Dans la dernière étape, on montre que F est continue en 0, en scindant F en F_1 : x \mapsto \int_0^{1} e^{-xt} \frac{\sin t}{t} dt et F_2 : x \mapsto \int_1^{+\infty} e^{-xt} \frac{\sin t}{t} dt, et en montrant que F_1 et F_2 sont continues sur \mathbb{R}_+ ; donc que F(0) = \frac{\pi}{2}.
1ère question : Je pense avoir compris le raisonnement seulement, dans la 2ème partie, pour déterminer l'expression de F sur \mathbb{R}_+^*, on calcule \forall x > 0, F^\prime(x) = \frac{-1}{1 + x^2}. Donc vu que \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{-1}{1 + x^2} = -1, je pense qu'on peut directement en déduire que F est dérivable (à droite) en 0 ; donc que F est continu (à droite) en 0 et conclure que F(0) = \frac{\pi}{2}.
2ème question : A la fin de la correction de cet exercice, il est signalé que pour montrer que F est continue en 0, on peut aussi considérer G : x \mapsto \int_{0}^{x}\ \frac{\sin t}{t} dt et remarquer qu'en intégrant par partie F, on a \forall x > 0, F(x) = x \int_0^{+ \infty} e^{-xt} G(t) dt \\ . Par contre, je ne vois pas comment en déduire que F est continue en 0.

Posté par
carpediemre : Intégrale de Dirichlet 01-04-23 à 19:54

salut

question 1/ : revois la limite de -1/(1 + x^2) en +oo

Posté par
Ulmierere : Intégrale de Dirichlet 01-04-23 à 20:08

Déjà entendu parler de la transformée de Laplace ?
Elle a une propriété intéressante qui dit que L(f')(p) = pL(f)(p) - f(0^-)

Pour la question 2), on est en train de te dire que F(p) = pL(G)(p) = L(G')(p) + G(0^-) = L(\sin_c)(p) + 0, qui est continue en 0, comme tu l'as déjà montré en première partie.

Posté par
g0217dre : Intégrale de Dirichlet 01-04-23 à 22:36

Merci.

@carpediem : Effectivement, \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{-1}{1+x^2} = 0 et je pense que ça permet de conclure que F est \mathcal{C}^0 en 0. Qu'en penses-tu ?

@Ulmiere : Oui je connais la transformation de Laplace, de nom surtout. Par exemple, ici F=\mathcal{L}(f) où f : t \mapsto \frac{\sin t}{t}, l'abscisse de convergence de f est 0 et \mathcal{L}(f) est \mathcal{C}^0(]0, +\infty[), mais pas en 0 a priori. Le but de ma 2ème question est de montrer que \mathcal{L}(f) est bien \mathcal{C}^0 en 0, c'est-à-dire de trouver une alternative à la 3ème étape du raisonnement ci-dessus.

Posté par
g0217dre : Intégrale de Dirichlet 02-04-23 à 09:08

Bonjour,
Je pense avoir trouvé la réponse à ma deuxième question. En fait, on peut montrer que si G admet une limite finie l en +\infty, \lim_{p \rightarrow 0^+} p \mathcal{L}(G)(p) = l. L'idée est de scinder p\mathcal{L}(G)(p) en p \int_0^{A} G(t) e^{-pt} dt + p\int_{A}^{+ \infty} G(t) e^{-pt} dt, où A est tel que \forall x \geq A, |G(x) - l| \leq \varepsilon. Donc \exists \eta > 0, \forall p \in ]0, \eta], l - 2\varepsilon \leq p\mathcal{L}(G)(p) \leq l + 2\varepsilon. Et comme F(p) = p \mathcal{L}(G)(p) et l=F(0), F est continue en 0.


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