S exp(-t)/t dt = F(t)  (Et on a F'(t) = exp(-t)/t)

f(x) = intégrale de (ax) à (bx) de exp(-t)/t dt = F(bx) - F(ax)

f(x) = F(bx) - F(ax)

f'(x) = b.F'(bx) - a.F'(ax)

f'(x) = b.exp(-bx)/(bx) - a.exp(-ax)/(ax)

...


Sauf distraction.  

autant pour moi, ça paraît si évident maintenant.

il me faut aussi prouver qu'elle est de classe C^1 en 0, comment faire s'il vous plaît? fautil prolonger par continuité et comment si oui?

Bonjour !
La dérivée calculée plus haut est pour .
Un simple développement limité te donnera la limite en 0 mais cela ne suffit pas : il faut trouver aussi la valeur , si possible.
Je pense que le plus simple consiste à écrire , de majorer (en le justifiant) par M puis l'intégrale par .
Je te laisse réfléchir quoi faire avec le bout qu'on a mis de côté.