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Integrale de fonction trigo

Posté par Satchmo (invité) 11-09-04 à 19:09

Bonjour,
J'ai l'intégrale non définie suivante :
sin4(x)cos5(x) dx
En intégrant par partie 2 fois de suite, j'arrive à la solution suivante :
(sin5(x)cos4(x))/5 + 4(sin7(x)cos2(x))/35 + 8sin9(x)/315
Je ne suis pas très fort, donc je vérifie grâce à une calculatrice en ligne qui elle me donne:
sin5(x)/5 - 2sin7(x)/7 + sin9(x)/9
Soit j'ai tout faux, mais j'arrive toujours au même résultat, soit la machine en ligne déloque, mais ça serait bien la première fois, soit enfin, on peut passer d'une solution à l'autre, mais là, franchement, je ne vois pas trop !
Si déjà vous pouviez me dire qui a bon ?
Merci


Posté par
charlynoodlesre : Integrale de fonction trigo 11-09-04 à 19:31

Bonjour ,

Linéarise ton expression

Charly

Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 11-09-04 à 19:49

Bonsoir Charly
oui certes bien sur
mais encore ?
merci Charly

Posté par
charlynoodlesre : Integrale de fonction trigo 11-09-04 à 20:49

Bonsoir

On va transformersin^4(x)cos^5(x)

On sait que cos^2(x)+sin^2(x)=1

sin^4(x)cos^5(x)=(1-cos^2(x))^2*(cos^5(x))=(1+cos^4(x)-2cos^2(x))(cos^5(x))=cos^5(x)+cos^9(x)-2cos^7(x)

Donc \int_{}sin^4(x)cos^5(x)=\int_{}cos^5+\int_{}cos^9(x)-2\int_{}cos^7(x)=I+J+K

Calculons I

Linéarisons cos^5(x) grace à la formule d'euler : cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}

cos^5(x)=(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2})^5

32cos^5(x)=(e^{ix}+e^{-ix})^5= (e^{i5x}+e^{-i5x})+5(e^{i3x}+e{-i3x})+10(e^{ix}+e^{-ix})= 2cos(5x)+10cos(3x)+20cos(x)

cos^5=\frac{cos(5x)}{16}+\frac{5cos(3x)}{16}+\frac{5cos(x)}{8}


I=\frac{sin(5x)}{80}+\frac{5sin(3x)}{48}+\frac{5sin(x)}{8}

Posté par
charlynoodlesre : Integrale de fonction trigo 11-09-04 à 21:08

je poursuis

Calcul de J

Je te laisse faire les calculs :

Ma calculette donne

cos^9(x)=\frac{cos(9x)}{256}+\frac{9cos(7x)}{256}+\frac{9cos(5x)}{64}+\frac{21cos(3x)}{64}+\frac{63cos(x)}{128}

Donc J=\frac{sin(9x)}{2304}+\frac{9sin(7x)}{1792}+\frac{9sin(5x)}{320}+\frac{7sin(3x)}{64}+\frac{63sin(x)}{128}

Calcul de K

ma calculette donne

cos^7(x)=\frac{cos(7x)}{64}+\frac{7cos(5x)}{64}+\frac{21cos(3x)}{64}+\frac{35cos(x)}{64}

Donc K=\frac{sin(7x)}{448}+\frac{7sin(5x)}{320}+\frac{7sin(3x)}{64}+\frac{35sin(x)}{64}

Voilà

Charly

J'ai fait la bonne vielle méthode !

Sinon on aurait pu faire un changement de variable

u=tan(\frac{x}{2})

Posté par
charlynoodlesre : Integrale de fonction trigo 11-09-04 à 21:35

Oups erreur :

posté le 11/09/2004 à 20:49:

\int_^{}sin^4(x)cos^5(x)=I+J-2K

Finalement je trouve :

\int_^{}sin^4(x)cos^5(x)=\frac{sin(9x)}{2034}+\frac{sin(7x)}{1792}-\frac{sin(5x)}{320}-\frac{sin(3x)}{192}-\frac{3sin(x)}{128}

Voili voilà

Charly

Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 12-09-04 à 11:13

Merci Charly,
Voilà ce que j'avais fait :
sin4(x)cos5(x) dx = sin4(x)cos4(x)cos(x)dx
On pose u = cos4(x), donc du=-4cos3(x)sin(x) et dv=sin4(x)cos(x)dx, donc v=sin5(x)/5
On sait que udv = uv - vdu
On a donc
I=sin5(x)cos4(x)/5 - -4sin5(x)cos3(x)sin(x)/5 dx
soit I=sin5(x)cos4(x)/5 + 4/5sin6(x)cos2(x)cos(x) dx

A nouveau on pose u = cos2(x), donc du=-2cos(x)sin(x)dx et dv=sin6(x)cos(x)dx, donc v=sin7(x)/7


soit I=sin5(x)cos4(x)/5 + 4/35 sin7(x)cos2(x) - 4/5-2sin7(x)cos(x)sin(x)/7 dx

I=sin5(x)cos4(x)/5 + 4/35 sin7(x)cos2(x) + 8/35sin8(x)cos(x) dx


I=sin5(x)cos4(x)/5 + 4/35 sin7(x)cos2(x) + 8/35[1/9 sin9(x)]

I= sin5(x)cos4(x)/5 + 4/35 sin7(x)cos2(x) + 8/315 sin9(x)


D'où mon embarras devant ton brillant calcul qui me donne une 3eme réponse!
En fait, cet exo correspond à un cours dans lequel on ne parle pas de ta méthode pour intégrer, c'est plutôt un cours de débutant
Ma question est donc plutôt de savoir si ce que j'ai fait est bon. Il semble que non, mais j'aimerai bien savoir où ça pêche.

Merci Charly.

Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 13-09-04 à 16:27

Bonjour à tous
Bonjour Charly,
J'ai quand même pris un peu de temps pour regarder ta façon de procéder. J'avoue n'avoir pas tout recalculé, car je manque justement de temps, mais suffisamment pour bien intégrer le principe. Je suis donc d'accord avec toi. Et ça me laisse perplexe, car je ne comprends toujours pas où je me trompe.
Une idée, quelqu'un ?
Merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrale de fonction trigo 13-09-04 à 17:30

Je n'ai pas relu.

Remarque.

Ce n'est pas parce que les primitives sont différentes que c'est faux.

Des primitives doivent être égales à une constante près, mais il est parfois difficile de montrer que c'est le cas. (sourtout avec des fonctions trigono d'arguments différents)

Je n'ai pas cherché les erreurs, mais en dérivant le résultat de  Satchmo, on retombe sur la fonction de départ (je l'ai fait graphiquement dans Excel), ce qui indique que sa solution devrait être correcte.

La dérivée du résultat de Charly (toujours graphiquement dans Excel) ne redonne pas la fonction de départ.
Donc, sauf erreur de ma part, il y a bulle dans le calcul de Charly.
Ceci ne met en rien la manière de faire (linéarisation de la fonction de départ) en cause. C'est une méthode correcte.





Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 13-09-04 à 19:11

Ouf !
J'ai bon, enfin, normalement, ça rassure !
Bonjour quand même et merci. Ceci dit, la méthode de Charly m'a permis d'aller un peu plus loin, mais comme je l'ai dit, je n'ai pas refait le calcul complet. Promis, dès que j'ai un moment, je m'y colle !

J'en profite, tant que je suis là :
Calculer l'aire du domaine défini par : (x,y) 2, avec 0 x et cos x y sin x.
Graphiquement, je vois bien ce que ça représente, je fais le calcul, sur une demi-période, sachant qu'au final, l'aire est égale à 0 puisqu'elle est également répartie de part et d'autre de l'axe Ox.
Je calcule donc sin(x) dx entre /4 et et j'en retranche cos(x) dx entre /4 et /2
Mon problème, c'est que j'ai du mal a expliquer mathématiquement comment je trouve les bornes de mes intégrales.
Une idée ?
Merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 11:38

Attention, qu'est-ce que tu veux exactement ?

Si je regarde l'énoncé, tu cherches à calculer la somme des aires verte et rouge de mon dessin.

Il faut encore savoir si tu veux chercher les aires séparément ou leur somme.

Le point de rencontre de sin(x) et cos(x) est trouvé par:
sin(x) = cos(x)
tg(x) = 1 -> x = Pi/4 (dans [0 ; pi])

Aire verte = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\ (sin(x) - cos(x)) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ sin(x) dx = [-cos(x)-sin(x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} + [-cos(x)]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -1 + \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2}

Aire rouge = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ cos(x)) dx = [sin(x)]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -1
-----
Si on veut la somme des aires, on pouvait directement faire:

Aire  = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\ (sin(x) - cos(x)) dx = [-cos(x)-sin(x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = 1 + \sqrt{2}
-----

Sauf distraction.  






Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 11:39

Zut j'ai oublié le dessin, le voici.



Integrale de fonction trigo

Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 13:12

Bonjour,
La distraction était chez moi
Je me suis trompé dans mon énoncé : x est compris entre 0 et 2PI. Donc ton dessin est bon, sauf que maintenant, l'aire rouge va jusqu'à 5PI/4. Je cherche la somme algébrique des aires verte et rouge, ce qui devrait faire 0.
Je n'avais pas posé mes intégrales comme toi, d'où ma difficulté à trouver l'explication mathématique de la définition des bornes. Mais ta première intégrale m'éclaire à ce sujet.

Pour revenir à l'intégrale du début du sujet : j'ai un petit programme qui me permet de tracer les courbes et leur dérivée. Mon résultat est effectivement bon, sachant que je l'ai simplifié avec cos(x)2=1-sin(x)2, arrivant ainsi au même résultat que la calculatrice (j'aurais pu y penser avant).
J'ai aussi essayé en posant u=sin(x), donc du=cosx dx, avec donc derrière l'intégrale t2(1-t2)2 dt. C'est beaucoup plus rapide.

Ca ne fait jamais de mal de se casser un peu la tête.

Merci encore.
A bientôt

Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 13:15

Pour préciser :
J'avais bien trouvé pi/4 et 5PI/4 en disant qu'à l'intersection des courbes y=sinx=cosx, avec x entre 0 et 2PI.
Merci.

Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 13:21

La peste soit de ma petite tête !
Qu'est-ce que vous utilisez pour écrire de belles formules mathématiques comme ça ?
Mes excuses pour le nombre de post
Merci (normalement, c'est le dernier )

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 14:32

Pour écrire les "belles formules", on utilise Latex.

Quelques explications <A HREF="https://www.ilemaths.net/sujet-le-latex-dans-les-messages-du-forum-12629.html">En cliquant ici</A>



Posté par Satchmo (invité)re : Integrale de fonction trigo 14-09-04 à 22:55

Bonsoir,
Merci à tous, pour les coups de main et les infos.
A+

Posté par yolanC (invité)la calculatrice en ligne ? 19-09-04 à 14:47

Bonjour,
je cherche une calculatrice en ligne, qui à peu près les mêmes possibilités qu'une TI9X, je peux toujours rêver ou alors ça peut se trouver ?

Satchmo tu parles d'une calculatrice en ligne, c'est le même genre que celle par défaut dans windows ou bien...?

Ce serait si qqun pouvait m'envoyer un lien vers une calto en ligne qui fasse des maths un peu poussées.

Posté par
Nightmarere : Integrale de fonction trigo 19-09-04 à 22:42

Pour ce qui est de l'analyse , j'aime bien ce petit site :



Bonne navigation


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