bon ben apparement mon exo inspire personne!!

alors moi qui me suis embétée à tout bien écrire!!!
N'y a-t-il pas une âme charitable qui pourrait m'éclairer?

Meuh allez...
Je suis au boulot la, alors je fais pas trop de zèle: je te fias confiance sans vérifier sur ce que tu as fait, et je regarde seulement là où tu bloques.

1.2/
Je pense que tu peux montrer (par récurrence par exemple) que
|_n| Mⁿ(b-a)ⁿ|g|

Ca me paraît pas trop dur au vu de la définition de _n.
J'ai utilisé la notation valuer absolue, il s'agit de la norme de la fonction considérée en fait (la norme sup, quoi).

Ensuite tu fais uen majoration de la norme deta serie avec ca, tu trouves une série géométrique de raison...(à toi) qui est strictement inférieure à 1, ca converge normalement.

3.1
K est un opértatuer de l'ensemble des fonctions continues vers l'ensemble des fonctions continues.
Il faut montrer que K est un opérateur linéraire, pas que Kh est une application linéaire.

ie K(ah1+bh2) = ... (à toi).


Pour le reste... Peut-être si j'ai le temps dans la journée...

Courage,

A+
biondo

ah je te remercie, je m'y suis remise ce matin, mais quand ça bloque ça bloque!!
donc là, je vais voir si je m'en sors.

oh là là, soit je me plante à une étape ou alors je ne comprends pas
pour 1.2/
je suis ok pour la relation de récurrence.

On a

|_n(x)|<Mⁿ(b-a)ⁿ|₀|.
d'où |ⁿ_n|<||ⁿ_n(x)|
<|ⁿMⁿ(b-a)ⁿ|g(x)|
<|g(x)|

non?

pour K linéaire, par contre ça marche tout seul!!

Non c'est ca, c'est juste qu'il faut faire la remarque suivante:

La série de terme général |ⁿMⁿ(b-a)ⁿ| est une série dont le terme général est une suite géométrique de raison strictement inférieure à 1.
Donc la série en question est convergente (th. de cours).
Donc par convergence dominée, la série initiale (avec lamba puissance n et phi puissance n) est normalement convergente.

Ca va?

C'est la définition de la convergence normale...

A+
biondo

ah d'accord. bon ben je vais m'attaquer à la suite!
a+

par contre pour la suite je ne m'en sors pas!!

On t'a donné quoi comme norme/produit scalaire??

je verrais bien pour le produit scalaire des deux fonctions p et q:

Et la norme, la norme induite associée.
Non???

Parce que dans ce cas:

3.2

K₁(x)= (a(x)b(t)+b(x)a(t)).(a(t)+b(t))dt
(j'enlève les bornes de l'intégrale pour aller plus vite, c'est de -1 à 1. Je développe sous le signe intégrale:

K₁(x)= a(x).b(t)^2+b(x).a(t)^2+(a(x)+b(x)).a(t).b(t) dt

On sépare en trois intégrales, on sort ce qui est fonction seulement de x, et comme
a(t)^2dt = b(t)^2dt =1  (a et b normées)
a(t).b(t)dt = 0 (a et b orthogonales)

on trouve
K₁(x)= a(x) + b(x) = ₁(x)

Enfin je pense...
Pareil pour phi2.

Donc phi1 et phi 2 sont deux vecteurs propres de l'operateur linéaire K, pour la valeur propre 1.


A+
biondo

je m'en vais lire ça et ouais pour le produit scalaire c'est bien ce que l'on m'a donné!!
à plus tard.

K₂=-₂

non?
et ça veut donc dire que ₂vecteur propre de -1?

Qu'en déduire pour Kh?

Kh=₁+₂?

D'où Kh^n=

Je te fais confiance (pour être honnête, je n'ai pas fait le calcul avec phi2, mais ca doit se passer assez bien.).

Pour la suite:

En calculant Kh, tu sors ce qui ne dépend que de x des intégrales, et tu te retrouves avec une combinaison linéaire des fonctions a et b. Or

a = 1/2. (phi1 + phi2)
b = 1/2. (phi1 - phi2).

Et hop. on a effectivement Kh = ₁ + ₂

Ensuite
Calcule K^2h, puis K^3h, pusi K^4h, et tu devrais trouver une belle formule en utilisant le 3.2.

biondo

mais ça veut bien dire que phi2 vecteur propre de -1?

oui, c'est bon, phi2 est vecteur propre de K pour la valeur propre -1.

biondo

j'ai trouvé
Kh(x)=(1/2phi1(t)h(t)dt)phi1(x)+(-1/2phi2(t)h(t)dt)phi2(x)
Kh(x)=1/2<phi1,h>phi(x)-1/2<phi2,h>phi2(x)

K^nh=k^n(x,t)h(t)dt
et donc ici j'utilise la formule de newton pour développer k^n(x,t)?

Encore une fois, je te fais confiance sur les calculs et je ne verifie pas l'expression de Kh...

Pour la suite: tu t'embrouilles un peu sur ce que signifie la notation K^nh. Il ne faut pas remplacer k par k^n a l'interieur de l'integrale, mais appliquer n fois l'operateur K a la fonction h...

Autrement dit on definit
K^2h = K(Kh) = K(alpha.phi1 + beta.phi2) =... (je te laisse faire la suite)
et ensuite de proche en proche K^(n+1)h = K(K^nh)

Ensuite je te conseillais de regarder K^3h, puis K^4 et normalement tu devrais voir apparaitre la forme generale de K^nh, que tu n'auras plus qu'a montrer ensuite rigoureusement.

biondo

ben ouais en fait, il faut utiliser K linéaire et on trouve K^nh=phi1+(-1)^(n-1)phi2.
le fait que =1/2<phi1,h>, c'est possible?
Et on utilise K^nh pour la suite?: résoudre (E) pour 0<||<1

C'est bon d'apres mon rapide calcul..

Ensuite, effectivement, on remarque que les phi_n du debut sont en fait les K^ng... A ta place je renommerais phi1 et phi2 autrement (ceux de la question 3), juste pour etre sur de ne pas se tromper.

Tu as l'expression de la solution de E en 1.3, et avec l'expressionde K^ng on va trouver des series geometriques... En avant!

biondo

je montre par récurrence que _n(x)=Kⁿg(x).
or=ⁿ_n solution de (E)
d'où ⁿKⁿg(x) solution.
Or 0<|lambda|<1 d'où suite géométrique de raison lambda.
d'où =(1-K^(n+1)g)/(1-Kg)

3.5/ si <g,phi1>=0 et <g, phi2>=0 alors Kg(x)=0 et donc

3.6/ Kg(x)=sin(2x)/ * sin(x+t)dt sur [-1,1]?
          =sin(2x)/* 2cos(x)cos(1)

a-t-elle une écriture plus jolie?
pour l'application, je dois bien intégrer entre -1 et 1? ça me semble louche!!
mes solutions sont-elles bonnes?
et comment calculer K^(n+1)g(x) dans l'application?
merci

tu t'emballes encore un peu vite...

K^ng n'est pas une puissance au meme sens que lambda^n...

Il faut que tu remplaces les K^ng par leur expression: on l'a trouvee (avec h fonction continue quelconque!, donc ca marche avec g) a la question 3.3... en fonction de phi1 et phi2 (qui sont differents des phi_n, attention). la tu vas avoir une belle expression de serie geometrique, car il va rester des facteurs constants fonctiond e x, et des sommes de lambda^n...

biondo

donc j'ai

(x)=₁(x)ⁿ + ₂ⁿ(-1)^n-1.

(x)=₁(x) (1-ⁿ⁺¹)/(1-)  +   ₂(x)ⁿ(-1)^n-1.

C'est bien ça?

Presque...

Tes series sont infinies, non? Il ne devrait plus y avoir de terme en n a la fin...
Que vaut Somme(lambda^n) de 0 a l'infini? (passe a la limite ton expression quand n tend vers l'infini). Quant au deuxieme terme dasn ton expression, c'est aussi une serie geometrique de raison (- lambda)...

En redigeant, pense a rappeler l'expression des coefficients alpha et beta en fonction de g...

Pour l'application, un peu en vrac, des indications:
Exprimer k(x,t) sous la forme a(x)b(t)+a(t)b(x), pour etre dans les conditions de resolution connues
En deduire phi1 et phi2 (gamma1 et gamma2 maintenant si j'ai bien compris).
Pour les bornes d'integration de l'integrale, il faut se ramener entre -1 et 1, alors qu'on est entre -Pi et Pi a priori. Un changement de variable? (la je suis moins sur...), ou alors on reprend la question precedente avec l'intervalle [a,b], ce qui ne devrait pas changer grand-chose (on ne s'est jamais servi des valeurs des bornes, me semble-t-il...)


Ca devrait aller au bout!

biondo

posté par : délice
j'ai donc

(x)= 1(x)/(1-) -2(x)/(1+)

avec 1=a+b
     2=a-b
     =1/2<1,g>
     =-1/2<2,g>

pour l'application, a(x)=sinx/
                    b(x)=cosx
et je trouve ===0 ???

a(x)=sinx/pi

ben ouais, je viens de tout relire attentivement et je ne vois pas où je me plante?

Pourquoi tu penses que tu te plantes????

Ah si, d'accord. L'expression de "Grand Psi" a sans doute une bisbrouille... En effet le premier terme de la somme ne se factorise pas avec les autres (avec alpha et beta, qui n'apparaissent qu'a partir du moment où on a appliqué K une première fois). Il te manque donc le premier terme de la somme (qui vaut phi_0 = g) et ensuite une petite vérification en fonction de l'indice de départ de la somme pour être sûr.(pas fait le calcul...).

Lorsque g est orthogonale à phi1 et phi2, quelle est la solution de l'équation E?
(j'ai pas vérifié, encore une fois, moi je te donne juste des pistes).
Je dirais que f(x)=g(x) est solution.
ca doit correspondre à alpha=beta=0...

Et attention, pour lambda=1, on ne peut pas appliquer ce qu'on a fait (série géométrique qui ne va pas). Néanmoins on peut sans doute adapter...

A+
biondo

enfin j'en vois presque le bout!!

en effet, j'ai oublié le 1er terme.
et donc
ⁿ, n>0 vaut *1/1-, non?

3.5/d'où si <g,phi1>=<g,phi2>=0 alors (x)=g(x)

3.6/et pour l'application, (E_1/2):(x)=g(x)=sin(2x)

mais , <g,phi1>=<g,phi2>=0
d'où je trouve aussi ==0 d'où (x)=g(x) je n'applique pas série géométrique mais j'ai bien le droit de dire que

(x)=Kⁿg(x), n0.
        =g(x)+ ₁(x)+(-1)^n-1₂ (x)  ,n1

Tout ça m'a l'air correct!

A+
biondo

ok ben merci pour ton aide biondo.
a+