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intégrale de gauss

Posté par orm (invité) 05-01-06 à 11:52

le but est de calculer l'intégrale de gauss qui vaut /2
1ère méthode pas de pb on utilise une fct f Cste et on montre le résultat.

2ème méthode: ça se corce!!
Ip=(0 et /2) de cos^p(t)dt.
Montrer qu'au voisinage de l'infini on a Ip(/2p)??
ici je trouve une relation entre Ip+1 et Ip:Ip+1 = p/(1-p) Ip

I2p+1=2^(2p)(p!)^2 / (2p+1)! I1
I2p= (2p)!/ 2^(2p)(p!)^2   I0


Mais comment conclure avec cela?

2/on pose ensuite fn(x)=(1-x^2/n)^n si 0<x<n
                        0 sinon

f(x)=e^(-x^2)
montrer que la suite (fn)et f vérifie les hypothèses du th de cv monotone.
En déduire la valeur de l'intégrale de gauss.

ici je dois vérifier que fn suite croissante de fct continues intégrables.
fn cvs vers f

C'est bien cela? je n'arrive à rien montrer.
En + infini, j'utilise DL pour la fonction fn.

  

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale de gauss 05-01-06 à 12:19

Bonjour orm;
La suite (I_p) décroit strictement vers 0 (c'est facile à vérifier).
La relation de récurrence est plutot:
I_{p}=\frac{p-1}{p}I_{p-2} valable pour p\ge2
ce qui te donne pI_pI_{p-1}=(p-1)I_{p-1}I_{p-2}=..=(2-1)I_1I_0=\frac{\pi}{2}
et vu la décroissance de (I_p) tu as aussi
\frac{I_{p-2}}{I_p}<\frac{I_{p-1}}{I_p}<1 c'est à dire \frac{p}{p-1}<\frac{I_{p-1}}{I_p}<1 et donc que I_p est équivalent à I_{p-1} et donc que pI_p^2 est équivalent à \frac{\pi}{2} c'est à dire que I_p est équivalent à \sqrt{\frac{\pi}{2p}}.
Sauf erreurs...

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 05-01-06 à 12:20

merci, je vais voir donc la relation de récurrence et esssayer de faire la suite.
A plus

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 07-01-06 à 10:53

apparement il y a une erreur de calcul. La relation n'est pas tout à fait celle que tu me donnes mais j'ai pu conclure tout de même.

par contre pour la suite, j'essaie de montrer la croissance de fn:
j'ai utilisé le fait que  0<(1-x^2/n)^n<(1-x^2/(n+1))^n et dc fn+1-fn>0

pour montrer que fn tend vers f:
DL en +infini de (1-x^2/n)^n = 1-x^2 +n(n-1)/2 (-x^2/n)^2 +....
mais je n'y arrive pas?!!

merci

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 07-01-06 à 11:32

il y a une suite :
1/je dois montrer les inégalités suivantes mais j'ai oublié la méthode; c'est pourtant classique!!ln(1+t)<t
tln(t)>-1/e

2/f une bijection  C1(I,J).
Condition nécessaire et suffisante pour que f soit C1-difféomorphismede I ds J?
Expression de f^-1

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : intégrale de gauss 07-01-06 à 12:19

1/

g(t) = ln(1+t)-t
Dg: 1+t > 0 et donc t > -1

g'(t) = (1/(1+t)) - 1
g'(t) = (1 - 1 - t)/(1+t)
g'(t) = -t/(1+t)

Et comme 1+t > 0 dans Dg, g'(t) a le signe de -t

g'(t) > 0 pour t dans ]-1 ; 0[ --> g(t) est croissante.
g'(t) = 0 pour t = 0
g'(t) < 0 pour t dans ]0 ; oo[ --> g(t) est décroissante.

Il y a un maximum de g(t) pour t = 0, ce max vaut g(0) = 0
---> g(t) <= 0 sur Dg
ln(1+t)-t <= 0 sur Dg
ln(1+t) <= t  sur Dg
----------
h(t) = t.ln(t) + 1/e
Dh = R+*

h'(t) = ln(t) + 1

h'(t) < 0 pour t dans ]0 ; 1/e[ --> h(t) est décroissante.
h'(t) = 0 pour t = 1/e
h'(t) > 0 pour t dans ]1/e ; oo[ --> h(t) est croissante.

h(t) a un minimum pour t = 1/e, ce min vaut h(e) = -(1/e) + (1/e) = 0
---> h(t) >= 0 sur Dh
t.ln(t) + 1/e >= 0 sur Dh
t.ln(t) >= -1/e sur Dh
----------
Sauf distraction.  

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 07-01-06 à 12:45

ok merci et pour mon th de cv monotone personne n'a d'idées?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 07-01-06 à 12:54

Bonjour orm

Pour pouvoir appliquer le théorème de convergence monotone,il faut bien vérifier que pour tout n et pour tout x, on a f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x), que ces fonctions sont intégrables (ce qui est évident) et que f est intégrable (ce qui est aussi facile à vérifier.
Le seul point délicat est de montrer que la suite est croissante et ça c'est pas très évident à faire. En fait, l'énoncé en demande trop car le théorème de convergence dominée suffit largement et les hypothèses de ce théorèmes sont plus simples à vérifier. Mais bon, si l'énoncé demande à ce qu'on utilise la convergence monotone, je crois pas qu'on ait tellement le choix.

Kaiser

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 07-01-06 à 15:39

ah bon pour montrer la croissance j'ai encadrer 0<x<n et j'ai ensuite remonter jusqu'à fn et fn+1?
Ca ne marche pas, c'est plus compliqué que ça,

par contre pour montrer la CV???

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 07-01-06 à 15:55

pour montrer la croissance j'ai encadrer 0n et j'ai ensuite remonter jusqu'à fn et fn+1?

J'ai pas très bien compris ce que tu voulais dire là !

En ce qui concerne la preuve de la convergence, il faut montrer la convergence simple.
Considère d'abord un réel x quelconque.
Pour tout n supérieur à la partie entière de x², on a f_{n}(x)=(1-\frac{x^{2}}{n})^{n}=e^{nln(1-\frac{x^{2}}{n})}.
Pour x=0, ça converge vers 1.
Si x est non nul, on a nln(1-\frac{x^{2}}{n})~-n\time \frac{x^{2}}{n}=-x^{2}
Par continuité de l'exponentielle, la suite tend vers e^{-x^{2}}
On a donc bien montré la convergence simple.

Kaiser

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 08-01-06 à 14:29

en fait 0<x<n
dc 0<x^2<n
dc 0<x^2/n<1
dc 0<1-x^2/n

d'autre part n<n+1 dc 1/n+1 < 1/n
dc 0< 1-x^2/n < 1- x^2/(n+1)

dc en mettant à la puissance n ok? Mon raisonnement pour la croissance tient-il la route?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 08-01-06 à 14:33

Bonjour orm

Ben en fait, je penses que tu oublies que lorsque l'on passe de n à n+1, on change n en n+1 (y compris la puissance).
Tu n'as donc montré que l'inégalité est vraie mais seulement en préservant la puissance n.
Ce que tu dois montrer c'est que pour tout n et pour tout x compris, on a :
(1-\frac{x^{2}}{n})^{n}\leq (1-\frac{x^{2}}{n+1})^{n+1}
et ce n'est pas ce que tu as montré.

Kaiser

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 08-01-06 à 15:01

oups en effet!!
et ça ne reste pas vrai si l'on multiplie à droite par (1-x^2/n+1)?
On n' a pas (1-x^2/n+1)^n < (1-x^2/n+1)^(n+1) ?
non car  1-x^2/n+1 <1 n'est-ce pas!!
Bouh c'est dommage!

Cherchons une autre piste pour la croissance alors!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale de gauss 08-01-06 à 18:59

Bonjour;
Si j'ai bien compris il s'agit de prouver que:
\fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)(\forall x\in{\mathbb{R}}^+)\\f_n(x)\le f_{n+1}(x)} l'inégalité demandée étant triviale pour x\in[sqrt{n},+\infty[ le problème revient à prouver que \fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)(\forall x\in[0,sqrt{n}[)\\(1-\frac{x^2}{n})^n\le(1-\frac{x^2}{n+1})^{n+1}} ou encore en posant \fbox{t=\frac{x^2}{n}} que \fbox{(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)(\forall t\in[0,1[)\\(1-t)^n\le(1-\frac{nt}{n+1})^{n+1}} fixons alors l'entier strictement positif n et considérons la fonction \fbox{h{:}[0,1[\to\mathbb{R}\\t\to(n+1)ln(1-\frac{nt}{n+1})-nln(1-t)} on a \fbox{h(0)=0\\h'(t)=\frac{nt}{(n+1)(1-t)(1-\frac{nt}{n+1})}\ge0}.
Sauf erreurs...

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 09-01-06 à 10:49

c'est bien ça merci!
Je n'ai absolument pas pensé à utiliser la fction ln.
Ca marche tout seul en effet!!      

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 10-01-06 à 09:46

Oh là là, suis nul!! J'ai encore une question!!

comment calculer (1-x^2/n)^n dx entre 0 etn  pour ensuite en déduire la valeur de l'intégrale de gauss par th de cv monotone? un chgt de variable?

ensuite pour 2/ f C1 difféomorphisme ssi f continue et f^-1 continue.
comment déterminer f^-1?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale de gauss 10-01-06 à 11:58

Bonjour;
Par le changement de variable \fbox{sin(t)=\frac{x}{sqrt n}\\t\in[0,\frac{\pi}{2}]} on a \fbox{\int_{0}^{sqrt n}(1-\frac{x^2}{n})^ndx=sqrt n\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2n+1}(t)dt=sqrt nI_{2n+1}} et comme \fbox{I_{2n+1}\approx\sqrt{\frac{\pi}{2(2n+1)}}} on a \fbox{sqrt nI_{2n+1}\approx\frac{\sqrt{\pi}}{2}} on conclut ainsi (par le théorème de la convergence monotone) que 2$\fbox{\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{sqrt n}(1-\frac{x^2}{n})^ndx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}
Sauf erreurs...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale de gauss 10-01-06 à 15:36

Bonjour;
Je voudrais quand m^me faire une petite remarque au sujet de la croissante de la suite (f_n(x))_n pour tout x\ge0:
Lors de mon post du 08/01/2006 à 18:59 j'avais fait intervenir la fonction logarithme mais je me suis rendu compte qu'on peut s'en passer en montrant directement que \fbox{\forall t\in[0,1]\\(1-\frac{nt}{n+1})^{n+1}\ge(1-t)^n}
on a en effet \fbox{(1-\frac{nt}{n+1})^{n+1}=((1-t)+\frac{t}{n+1})^{n+1}} en décomposant par la formule du binome on voit que \fbox{((1-t)+\frac{t}{n+1})^{n+1}=C_{n+1}^{0}(1-t)^{n+1}+C_{n+1}^{1}(1-t)^n\frac{t}{n+1}+..=(1-t)^{n+1}+t(1-t)^n+..=(1-t)^n+..} les termes non écrits de ce développement étant tous positifs on conclut.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 19-01-06 à 10:16

là je dois étudier Ff(x)=sur -infini et x de f(u)e^(-u^2/2)du.
avec f(x) tq 0<f(x)<1/p e^((1/2-p)x^2) et f(u)e^(-u^2/2)du=(2pi).

1/montrer que Ff est C1 difféomorphisme sur ]0;(2pi)[
Ff C1-difféo ssi Ff strictement monotone et de classe C1 cad Ff^(-1)continue?

2/montrer qu'il existe phi unique fction de R ds R tq
sur -infini et phi(x) f(u)e^(-u^2/2)du=sur -infini et x de e^(-u^2/2)du. ici il me faut faire certainement un chgt de variable?
montrer que phi est aussi C1-difféom.

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 19-01-06 à 13:23

comment montrer qu'une intégrale est un C1-difféomorphisme?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 19-01-06 à 13:28

Bonjour Orm

Montrer qu'une fonction f définie sur un intervalle est un C1-difféomorphisme est très facile. Il revient au même de dire que f est de classe C1 et que f' ne s'annule pas sur I.

Kaiser

P.S : ça ne serait pas extrait du concours des Mines de l'an dernier ou d'il y a deux ans par hasard.

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 20-01-06 à 15:42

oui en effet, c'est le sujet de l'an dernier!!
C'est peut-être trés facile mais je bloque.
il s'agit d'une intégrale dépendant d'1 paramètre:
uf(u)e^(-u^2/2) qui est bien continue,.....etc
A mon avis ce n'est pas aussi simple que cela si?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 20-01-06 à 18:17

Bonsoir orm

En fait, c'est une "fausse" intégrale à paramètre, dans le sens où la variable x et la variable d'intégration ne se mélangent pas.
En effet, on a directement F_{f} est clairement de classe C1 (car c'est une primitive d'une fonction continue) F_{f}'(x)=-f(x)e^{-\frac{x^{2}}{2}} et l'on voit que comme f(x)>0, par hypothèse, alors F_{f}' ne s'annule pas et F_{f} est alors un C1-difféomorphisme de sur son image.

Kaiser

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 20-01-06 à 19:55

pour le 2/ je fais le chgt de variable v=f(u)?
non ça ne marche pas!!
pfou!!!

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 20-01-06 à 20:44

Pour la 2), il y a plus simple.
En effet, pour tout x réel, \bigint_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du appartient à l'ensemble ]0,\sqrt{2\pi}[, donc d'après la question précédente l'équation F_{f}(y)=\bigint_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du admet une unique solution que l'on note \phi (x) (comme par hasard !!).
On a donc bien \bigint_{-\infty}^{\phi (x)}f(u)e^{-\frac{u^{2}}{2}}du=\bigint_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du.
Pour montrer que c'est un C1-difféomorphisme, il suffit d'écrire que \phi (x)=(F_{f})^{-1}(\bigint_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du) ce qui permet de conclure.

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 21-01-06 à 15:31

je te remercie!

bon depuis tout à l'heure j'essaie de faire la suite:
calculer  ln(phi'(x))+....  mais je déprime, je n'arrive à rien!!!

Existe-t-il une correction quelque part?

pfou j'en ai marre de me prendre la tête et de n'arriver à rien montrer!

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 21-01-06 à 15:43

Je t'en prie !

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 21-01-06 à 15:45

En ce qui concerne l'existence d'une correction, je n'en sais rien.
Mais surtout, n'abandonne pas.

Posté par orm (invité)re : intégrale de gauss 21-01-06 à 17:33

bon allez, je suis remotivé!!!!!On va s'y remettre!!
j'ai à calculer  

ln('(x))+ln(f((x)))-2(x)/2
et ensuite la même chose avec -1(x)


je suis parti de
(Ff((x)))'=-f((x))e^(-2(x)/2)
mais c'est aussi égal à  Ff '((x)).'(x)
je prends dc '(x)=-f((x))e^-2(x)/2 .1/F'f((x)).

Je dois certainement me compliquer la vie?!

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale de gauss 21-01-06 à 17:40

Tu est parti dans la bonne direction mais tu devrais oublier la notation F_{f}.
Il suffit de partir de l'égalité \bigint_{-\infty}^{\phi (x)}f(u)e^{-\frac{u^{2}}{2}}du=\bigint_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du et puis tu dérive par rapport à x.


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