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Intégrale de Gauss avec un paramètre

Posté par
Jijidu92i 11-12-22 à 12:21

Bonjour, je suis complètement bloqué sur un calcul de limite d'intégrale qui doit aboutir au résultat suivant :
\lim_{t\rightarrow 0,t>0} \int_{\mathbb{R}}^{}{\frac{1}{\sqrt{4 \pi t}}exp\left(-\frac{\mid x-y\mid^2 }{4t} \right)f(y)dy}=f(x)
où f est continue, bornée, intégrable et tout ce que vous pouvez souhaiter. L'énoncé suggère que pour arriver à notre fin un changement de variable est nécessaire. J'ai passé peut-être une heure à trouver le bon changement sans aboutir à quoi que soit. En plus, le résultat est évident, le truc dans l'intégrale converge vers un Dirac convolué avec f mais vraiment je vois pas comment y arriver. Merci pour toute indication

Posté par
Dostore : Intégrale de Gauss avec un paramètre 11-12-22 à 12:53

Bonjour,

En posant :

r=\frac{x-y}{2\sqrt{t}}

tu devrais t'en sortir non?

Posté par
Jijidu92ire : Intégrale de Gauss avec un paramètre 11-12-22 à 14:49

Merci beaucoup, je m'y attèle

Posté par
Ulmierere : Intégrale de Gauss avec un paramètre 11-12-22 à 15:33

Attention Dosto, dans la densité gaussienne, il y a un facteur 2 devant le \sigma^2 au dénominateur dans l'exponentielle

Tu veux donc 2\sigma^2 = 4t, et donc un \sigma = \sqrt{2t}, ce qui colle effectivement avec le facteur \dfrac1{\sqrt{4\pi t}}, qui est \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}

Posté par
Dostore : Intégrale de Gauss avec un paramètre 11-12-22 à 16:31

Ulmiere @ 11-12-2022 à 15:33

Attention Dosto, dans la densité gaussienne, il y a un facteur 2 devant le \sigma^2 au dénominateur dans l'exponentielle

Tu veux donc 2\sigma^2 = 4t, et donc un \sigma = \sqrt{2t}, ce qui colle effectivement avec le facteur \dfrac1{\sqrt{4\pi t}}, qui est \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}

Je ne comprends pas votre remarque. Par le changement de variable donné, on fait apparaître l'intégrale de Gauss  de paramètre \alpha = 1 qui vaut \sqrt{\pi}}. Nul besoin d'invoquer la loi gaussienne. Je vous laisse essayer pour vous en convaincre.


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