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integrale de lebesgue
bonjour
nous sommes en train d'étudier le cas ou la mesure de l'espace X est infini.On me donne la définition suivante: on suppose X peut être représenté par une union dénombrable d'ensembles Xn de mesure finie et les Xn forment une suite croissante. On dit que f est integrable sur X et on appelle integrale de f sur X la limite lorsque n tend vers l'indini de l'integrale de f sur Xn POUR AUTANT que cette limite existe et soit indépendante de la suite Xn.
Le cours traite d'abord des integrales des fonctions mesurables positives.Onpose alors Xn comme l'ensemble des x tel que f(x) est plus grand que 1/n. ET c'est là que j'ai un doute.
Si la fonction f est STRICTEMENT POSITIVE l'union des Xn donne bien X. et les Xn forment bien suite croissante .Mais si la fonction f n'est que
positive que fait-on de l'ensemble où f est nulle. L'union des Xn ne donne plus X ??????
Je sais. Je perds mon temps sur des détails. Mais est-ce vraiment des détails?
Merci. Spirou
Salut Spirou 
Ce n'est pas un détail mais ce n'est pas une difficulté non plus
En fait l'ensemble A des x qui annulent f est mesurable (car {0} est un borélien de R) et l'intégrale de f sur A vaut 0.
Par conséquent
et
On retrouve bien ton énoncé!
Tigweg
rebonsoir.
Le raisonnement suivant vous parait-il correct?
Au départ X est un espace mesuré. Soit F la sigma algèbre et u la mesure complète sur X.
Nous allons travailler sur X \ A. Si la mesure de X\A est infinie,On définit sa sigma algèbre en disant qu'elle est constituée de la famille des ensembles du type G inter le complémentaire de A avec G appartient à F.De même on considère la restriction de u à X \ A. De cette façon on récupère bien la définition initiale à savoir que les Xn forment une suite croissante d'ensembles de mesure finie dont l'union est bien X\A.
Si la mesure de X\A on récupère les définitions précédentes pour une fonction mesurable positive car les fonctions fn égal à f mulptiplié par la fonction indicatrice des En constituent une suite croissante de fonctions mesurables positives.
Encore merci.
PS j'adore l'analyse....
Salut spirou,
dans l'ensemble ton raisonnement me paraît correct, bien que je ne voie pas en quoi il est nécessaire.
C'est juste pour t'assurer qu'on peut aussi faire comme ça, ou ma première réponse ne t'a-t-elle pas entièrement convaincu?
Par ailleurs,
Si la mesure de X\A on récupère ...
>Il manque un morceau de phrase, mais j'imagine que tu as voulu dire "si la mesure de X\A est finie"?
En fait je ne vois pas l'intérêt de distinguer le cas où la mesure de X\A est finie ou infinie, le début de ton raisonnement marche encore si sa mesure est finie, et la fin me semble indépendante de cette hypothèse également.
PS j'adore l'analyse...
>Moi aussi!
(mais moi c'est vrai!
)
Tigweg
MERCI MERCI
C'est simplement pour coller tout à fait à la définition reçue.
Le cours d'analyse est celui que j'étudie le plus en profondeur.J'aime cette matière. Une autre matière qui me passionne est l'astronomie. On a un prof génial. Pas que je délaisse les autres cours main on a tous ses préférences et parfois le temps manque aussi.
Sûrement à bientôt.
Spirou
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