Bonjour CC_

Non, pas d'erreur d'énoncé :
Lorsque x est strictement inférieur à T, T-x est positif, donc lorsque n tend vers l'infini n(T-x) tend vers plus l'infini donc -exp(n(T-x)) tend vers et donc l'exponentielle de tout ça tend vers 0.
Lorsque x est strictement supérieur à T, en faisant la même étude, trouve que la limite vaut 1.

Autre chose : comment justifie-tu l'interversion limite-intégrale ?

Kaiser

Hello Kaiser ,

Effectivement, j'ai bien pareil que toi, mais je m'étais débrouillé par je ne sais quel court-circuit neuronal pour dire que la limite de était , alors que c'est , d'où le résultat... Bref... Désolé !

Pour l'interversion, alors j'ai pensé que le plus simple était de décomposer l'intégrale sur ] puis sur car sur ces deux intervalles, la suite est monotone, donc on peut appliquer un coup de Beppo-Levi (alors que ce n'est pas possible sur tout R+, je crois ?..)

Désolé, Beppo Levi ne marche pas : il faut que ta suite de fonctions soit positive (f est a priori de signe variable). De plus, pour appliquer beppo-levi, il faut également que ta suite de fonctions soit croissante.

D'une part, elle ne l'est pas forcément, à cause du signe de f qui peut-être variable et d'autre part, même si f est positive, la restriction de ta suite de fonctions à [0,T] sera décroissante (et on ne peut pas appliquer Beppo-levi à une suite décroissante de fonctions positives, du moins pas toujours)

Bref, il faut utiliser autre chose.

Kaiser

Je dois partir, je reviendrai un peu plus tard !

Kaiser

Houla voui, en effet... Bon ben au moins j'aurai uniformément quiché sur touit l'exo Histoire de n'avoir aucun regret, autant le faire carrément...

Plus sérieusement, je suppose que ça sent plutôt le théorème dominée que celui de convergence monotone. Je vais y réfléchir de mon côté en attendant !

Merci pour ton aide, Kaiser !

Oui donc ok, si one ssaie le théorème de CD, en posant , on a bien :
1) fn est une suite de fonctions mesurables,
2) fn converge sur R+ tout entier vers la fonction indicatrice , qui est intégrable
3) |f_n| < |f| pour tout n, et |f| est intégrable.

D'où la conclusion ?..

Oui, c'est effectivement le théorème de convergence dominée qu'il faut utiliser.
Le hypothèses sont bien vérifiées. Cependant, un détail : pour ton point 2), ce n'est pas tout à fait exact. En effet, pour x=T, la suite de fonction converge vers , mais bon qu'à cela ne tienne ; il nous suffit uniquement de la convergence presque partout ce qui est bien le cas. Encore autre chose : c'est probablement une faute de frappe mais je suppose que tu voulais dire que ta suite convergeait (presque partout comme on l'a dit) vers et non vers tout court.

Du coup, on a bien ce que l'on veut.

Kaiser

Re Kaiser !
Oui bien sûr il manquait un f
Bien vu pour le cas x = T ! Cette théorie de l'intégration de Lebesgue est assez dure à "digérer" pour le moment, je trouve... Va falloir que ça mûrisse un peu ! Merci à toi de m'y aider
A plus !

Mais je t'en prie !
À bientôt sur l' !
_{ne t'inquiète pas : en faisant ce genre d'exo plusieurs fois, ça va finir par rentrer !}