Il y a bien un théorème de Fubini qui dit qu'une fonction de R sur R monotone est dérivable presque partout, et donc continue presque partout. Ce résultat, et le fait que la monotonie entraîne l'injectivité, doivent permettre de montrer ce que tu cherches, ne serait-ce qu'en revenant à la définition des sommes de Riemann.

Mai,tenant, Fubini ppour démontrer ça, c'est un peu le marteau-pilon pour écraser la mouche, quelqu'un aura peut-être une meilleure idée ?  

Je ne connaissais pas ce théorème de Fubini, merci LeHibou, je vais faire quelques recherches dessus.

tu aurais un ouvrage un lien où je pourrais le trouver ce théorème d'ailleurs? Sur wikipedia il donne ce théorème : .

Non, ce n'est pas ce théorème-là, mais c'est de ma faute, le théorème auquel je pensais est de Lebesgue et non pas de Fubini (voir à la fin).

En fait, tout ce dont tu as besoin c'est un résultat plus simple :

"Si une fonction est monotone sur un intervalle, l'ensemble des points où elle n'est pas continue est fini ou dénombrable."

Tu en trouveras une démonstration ici :
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/lc/node22.html
Ou dans la bible Arnaudies et Fraysse, Cours de Mathématiques-2 Analyse, Proposition IV.2.1 page 146

Quand au beaucoup plus difficile théorème de Lebesgue qui permet d'affirmer la dérivabilité, il est par exemple démontré ici, au moins proposé comme exercice (exercice 3) :
http://www.ceremade.dauphine.fr/~cmouhot/TD-IF-2002-2003/IF-DM2.pdf

ah oui le théorème de la limite monotone, que je suis c... en plus c'est sur bouquin que je l'ai étudié ou sur le Arnaudies Lelongferrand, je sais plus.


Merci beaucoup pour ces liens LeHibou

Pour la petite histoire, j'ai eu Arnaudiès comme prof de Taupe en 1970, c'était un type formidable. A l'époque il n'avait encore écrit que les bouquins avec Lelongferrand, ceux avec Fraysse sont venus bien plus tard...

ça va les cours de qualité que tu as du avoir