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integrale de sin5(x)cos2(x)
bonjour tout le monde !
quelqu'un pourrait il maider dans le calcul de l'intégrale de 0 à pi de sin5(x)cos2(x) 5 et 2 sont en exposant
je savais le faire mais la impossible de retrouver comment on fait
merci d'avance
Salut!
A vue de nez et sans verifier, un changement de variable u = cosx nous amene a
du = -sinx.dx
sin4x = (1-cos2x)2 = (1-u2)2
et donc tu te ramenes a integrer -(1-u2)2.u2.du
les bornes sont pour toi, et le reste aussi 
Sauf erreur bien entendu.
biondo
Avec des sin/cos à l'exposant n, le premier réflexe, en général, est de linéariser.
"Avec des sin/cos à l'exposant n, le premier réflexe, en général, est de linéariser."
Oui, sauf si tout peut s'exprimer en fonction d'une seule fonction et de sa différentielle...
La solution de biondo est ici plus simple!
Pour vérification, une calculatrice de primitive fournit :
F(x) = (-cos3(x)/35)( 5cos4(x) -14cos2(x) + 7 ) + K
Vérifies...
Philoux
sin^5(x) . cos²(x) = sin(x).(sin²(x))².cos²(x) = sin(x).(1-cos²(x))².cos²(x)
sin^5(x) . cos²(x) = sin(x).(1-2cos²(x)+cos^4(x)).cos²(x)
sin^5(x) . cos²(x) = sin(x).cos²(x) - 2.sin(x).cos^4(x) + sin(x).cos^6(x)
Poser cos(x) = t --> sin(x) dx = dt
[sin(x).cos²(x) - 2.sin(x).cos^4(x) + sin(x).cos^6(x)] dx = t² dt - 2t^4 dt + t^6 dt
Une primitive = (t³/3) - (2/5)t^5 + (1/7)t^7
Soit = (cos³(x)/3) - (2/5)cos^5(x) + (1/7).cos^7(x)
Intégrale de 0 à Pi = 2.[(1/3) - (2/5) + (1/7)]
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Sauf distraction.
Salut J-P
Un p'tit signe - oublié fait que nos deux expressions diffèrent :
...Poser cos(x) = t --> - sin(x) dx = dt...
Philoux
Oui philoux, je reprends.
sin^5(x) . cos²(x) = sin(x).(sin²(x))².cos²(x) = sin(x).(1-cos²(x))².cos²(x)
sin^5(x) . cos²(x) = sin(x).(1-2cos²(x)+cos^4(x)).cos²(x)
sin^5(x) . cos²(x) = sin(x).cos²(x) - 2.sin(x).cos^4(x) + sin(x).cos^6(x)
Poser cos(x) = t --> -sin(x) dx = dt
[sin(x).cos²(x) - 2.sin(x).cos^4(x) + sin(x).cos^6(x)] dx = -t² dt + 2t^4 dt - t^6 dt
Une primitive = -(t³/3) + (2/5)t^5 - (1/7)t^7
Soit = -(cos³(x)/3) + (2/5)cos^5(x) - (1/7).cos^7(x)
Intégrale de 0 à Pi = 2.[(1/3) - (2/5) + (1/7)]
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Sauf nouvelle distraction.
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