Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R

Posté par
Fractal 02-06-06 à 18:08

Bonjour, j'aimerais simplement connaître la valeur de \Bigint_{\mathbb{R}}t^2e^{-t^2}dt et éventuellement comment on le prouve si cela n'est pas trop compliqué.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 18:33

Bonjour Fractal

Par une simple intégration par parties (en choisissant de d'intégrer \Large{t\mapsto te^{-t^{2}}}), on trouve que cette intégrale qu'elle vaut
\Large{\frac{1}{2}\bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt}, c'est-à-dire \Large{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}.
Quant à la démonstration de ce résultat je pense à 2 méthodes mais je ne suis pas sûr qu'elles te conviendront (l'une utilise la dérivation sous le signe intégrale).

Kaiser

Posté par
Fractalre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 18:50

D'accord, merci beaucoup
Mon exercice est donc juste

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 18:58

Mais je t'en prie !
Si je comprends bien, pas de démo ?

Posté par
Fractalre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 19:14

Non, pas la peine, pour l'instant je vais me contenter d'admettre que \Bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}.
La démo attendra...

Fractal

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 19:19

OK !

Posté par
Ksilverre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 19:30

Salut !

"l'une utilise la dérivation sous le signe intégrale"

ba si tu as du temps... moi je veux bien la voir celle la Kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 02-06-06 à 19:42

Avec plaisir !

On pose \Large{f(x)=\bigint_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}dt} et \Large{g(x)=\bigint_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}.
Montrer que \Large{f+g^{2}} est une fonction constante et en déduire la valeur de \Large{\bigint_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt}.

Je te laisse le faire et si tu rencontres des difficultés (ce qui m'étonnerait car on est dans un cas simple), n'hésite pas à me le faire savoir.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 03-06-06 à 14:46

Apparemment, pas de réponse de la part de Ksilver.
Je propose donc une correction de cet exo.

Posons \Large{h(x,t)=\frac{e^{-x^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}
h est clairement une fonction de classe \Large{C^{1}} sur \Large{\mathbb{R}^{2}}, donc il existe une constante A tel que pour tout x et tout t, on a \Large{\|\frac{\partial h}{\partial x}(x,t)\|\leq A}.
D'après la règle de Leibniz, f de classe \Large{C^{1}} et pour tout x, \Large{f'(x)=\bigint_{0}^{1}\frac{\partial h}{\partial x}(x,t)dt=-2x\bigint_{0}^{1}e^{-x^{2}(1+t^{2})dt}}
En effectuant le changement de variable u=tx, on a \Large{f'(x)=-2e^{-x^{2}}\bigint_{0}^{x}e^{-u^{2}}du}

Posons \Large{\varphi (x)=f(x)+g^{2}(x)}, alors pour tout x, on a

\Large{\varphi '(x)=f'(x)+2g'(x)g(x)=-2e^{-x^{2}}\bigint_{0}^{x}e^{-u^{2}}du+2e^{-x^{2}}\bigint_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt=0}
D'où \Large{\varphi} est constante.
En particulier, pour tout x, \Large{\varphi (x)=\varphi(0)=\bigint_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^{2}}=[Arctan(t)]_{0}^{1}=\frac{\pi}{4}}.

A présent, calculons \Large{\lim_{x\to +\infty}\varphi(x)}

Considérons x>0, alors pour tout t appartenant à [0;1], \Large{0\leq \frac{e^{-x^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\leq e^{-x^{2}}}
Par intégration entre 0 et 1, on a \Large{0\leq f(x)\leq e^{-x^{2}}}, d'où \Large{\lim_{x\to +\infty}f(x)=0}

De plus, on a \Large{\lim_{x\to +\infty}g^{2}(x)=\(\bigint_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\)^{2}}

Ainsi, \Large{\lim_{x\to +\infty}\varphi(x)=\(\bigint_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\)^{2}}.

D'où \Large{\(\bigint_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt\)^{2}=\frac{\pi}{4}} car \Large{\varphi} est constante égale à \Large{\frac{\pi}{4}}.

Finalement, on a \Large{\bigint_{0}^{+\infty}e^{-t^{2}}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}

Kaiser

Posté par neo (invité)re : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 03-06-06 à 14:54

bonjour Kaiser,

Jolie démo !
Tu parlais également d'une autre méthode ?
Tu peux juste expliquer en quoi elle consistait ?

Neo

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 03-06-06 à 15:05

Bonjour neo

Citation :
Jolie démo !


Merci !

Citation :
Tu parlais également d'une autre méthode ?
Tu peux juste expliquer en quoi elle consistait ?


Oui, bien sûr ! Cette méthode consiste à faire changement de variable en polaires.
Posons \Large{I=\bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx}
On a donc \Large{I^{2}=\(\bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx\)\(\bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^{2}}dy\)=\bigint_{-\infty}^{+\infty}\bigint_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy} (l'intégration se fait dans le sens que l'on veut d'après le théorème de Fubini).
Ensuite, comme je l'ai dit au début, on effectue un changement de variable en polaire.
On pose donc \Large{\{x=r cos(\theta)\\ y=r sin(\theta)}
D'où \Large{I^{2}=\bigint_{0}^{2\pi}\bigint_{0}^{+\infty}re^{-r^{2}}dr d\theta=\pi\bigint_{0}^{+\infty}2re^{-r^{2}}dr=\pi[-e^{-r^{2}}]_{0}^{+\infty}=\pi}

Kaiser

Posté par neo (invité)re : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 03-06-06 à 15:08

ah ok, je l'ai fait en toute fin d'année.
Elle tombe souvent aux oraux des concours !

Merci pour les explications !

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 03-06-06 à 15:09

Mais je t'en prie !
Bon courage pour tes oraux !

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 11:38

Bonjour à tous

Kaiser,

N'y aurait-il pas un problème de bornes dans ton calcul de I2 dans ton avant-dernier post?

Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 11:54

Bonjour jeanseb

Effectivement, je me suis trompé.
Je viens de corriger.

Merci de l'avoir signalé.

Kaiser

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 13:29

Pas de quoi, c'est toujours un plaisir de te lire.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 13:32

Merci !

Posté par
ottore : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 13:38

Il existe une preuve classique passant par les résidus, mais si on ne connait pas un peu la théorie, ca ressemble plus à une formule magique qu'à une preuve intéressante.
Je voulais en parler malgré tout parce que c'est une méthode très intéressante pour calculer des intégrales que l'on aurait été incapable de calculer autrement, et je voulais donc susciter quelques curiosités sur le (magnifique) sujet...

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 13:45

Bonjour otto

ça m'intéresserait de connaître cette méthode pour calculer l'intégrale de Gauss.

Kaiser

Posté par
ottore : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 14:08

Je suis en train de la rechercher (je ne connais pas la méthode par coeur) mais je me demande si je n'ai pas affabulé et confondu avec une autre
Connais tu une peu la théorie des résidus?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 14:11

Oui, je la connaîs.

Posté par
ottore : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 14:43

Honnetement, je me demande si je n'aurais pas dit une bétise...
Il faudra que je réflechisse avant de parler la prochaine fois.
Je ne laisse pas çà mort, et je te tiens au courant si je retrouve la méthode.
J'ai du confondre par les intégrales du type R(cos,sin) et exp(t)/t.

a+

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 14:47

Je viens de regarder dans mon cours et je vois quelque chose qui pourrait s'en approcher. Par contre, pas de théorème des résidus.
Il s'agissait de calculer l'intégrale \Large{\bigint_{0}^{+\infty}e^{-i\frac{t^{2}}{2}}dt}.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 14:51

OK !

Posté par
ottore : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 14:58

Salut, oui ca pourrait s'en rapprocher,  si on prend éventuellement un contour carré et que l'on fait croître un coté jusqu'à l'infini.

J'ai également trouvé une méthode sur le net passant par les transformées de Fourier via les résidus, mais j'ai parcouru le document rapidement, et je pense qu'ils ne calculent pas vraiment l'intégrale de Gauss. En fait l'idée est que exp(-t^2/2) est sa propre transformée de Fourier à un coefficient multiplicatif près, lequel est l'intégrale qui nous intéresse.

Si tu as la chance d'avoir le livre d'ahlfors "compelxe analysis", regarde dedans, il y'a tout un tas d'intégrales calculable au moyen des résidus. Je ne peux malheureusement pas mettre la main dessus, étant en déplacement pour le moment.

L'intégrale de Gauss est trop classique pour ne pas être mentionnée dans les cours d'analyse complexe, si elle était réellement calculable facilement au moyen des résidus, j'en conclu donc que ce n'est pas possible, ou que c'est difficile.
Je suis un peu géné d'avoir dit une si grosse bétise sans avoir vérifié mes sources auparavant

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 15:04

Tout le monde peut se tromper !

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 15:13

Otto dit:

"Il faudra que je réflechisse avant de parler la prochaine fois."

Puis:

"Je suis un peu géné d'avoir dit une si grosse bétise sans avoir vérifié mes sources auparavant".

Otto, tes scrupules t'honorent.

Si tu veux également faire un acte de contritrion, tu peux expliquer ton état d'esprit au camarade Mahow qui sévit sur le forum, pour qu'il se calme un peu ...

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 15:31

Kaiser

- Il y a encore un erreur de borne sur le dernier signe .

- Plus sérieusement, quelles conditions vois-tu pour faire les transformations que tu fais (notamment utiliser Fubini) alors qu'on a des intégrales généralisées ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 15:48

Je confirme : pour une fois, il n'y a pas d'erreur !
En effet, en polaire le r est positif.

Pour Fubini, on a affaire à une fonction positive donc pas de problème.
En effet, dans ce cas, le théorème te dit que si tu intègres d'abord par rapport à x, et que tu obtiens une fonction de y intégrable, alors tu peux intégrer dans n'importe quel ordre.

Posté par
ottore : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 15:55

Juste pour informations et pour pinailler:
Dans le cas où tout est positif, ce n'est pas le théorème de Fubini, mais le théorème de Tonelli.
Parfois on mélange les deux et on appelle ca le théorème de Tonelli-Fubini.

Je voulais le signaler parce que le théorème de Fubini est vraiment très fort et lorsqu'on l'applique, c'est quand on ne sait vraiment rien faire. Notamment ce théorème nous permet de montrer que certaines intégrales doubles existent, sans qu'aucune intégrale partielle f_x f^y n'existe.

J'espère cette fois ne pas avoir dit de bétise

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 16:20

Kaiser,
Es-tu bien sûr que ta borne est correcte, puisque tu intègres 2re-r 2 dr entre 0 et r, puis tu calcules la primitive entre 0 et+\infty ?
(t'as vu, j'ai pris ma première leçon de LaTex)

L'intégration n'est-elle pas entre 0 et +\infty?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 16:43

otto> tu n'as pas dit de bêtise, seulement lorsque mon prof nous avait fait le cours, il nous avait dit d'appeler ça Fubini tout court. En effet, dans le cas positif, c'est Fubini-Tonelli, et dans le cas général, c'est Fubini-Lebesgue, donc c'est simplement pour ne pas à avoir à traîner noms de théorème à rallonge. Voilà tout !

jeanseb> c'est corrigé ! Enfin, j'espère !

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 18:02

Kaiser, c'est encore moi, pour une demande d'explication:

Dans ton post du 03 06 à 14h46, tu dis que:

(en passant, comment faites vous pour encadrer une citation et mettre le mot "citation? et ceci intègre-t-il les caalculs écrits en La Tex?)

"h est clairement une fonction de classe C1  sur IR2, donc il existe une constante A tel que pour tout x et tout t, on a I dh/dx (x,t) I <= A."

Je ne comprends pas le raisonnement. La dérivée partielle est continue, donc majorée par une constante sur un compact, OK. Mais d'où vient la majoration sur IR2?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 18:14

Pour citer, il suffit de cliquer sur le bouton qui se trouve à gauche du bouton "latex".
Des balises "quote" apparaissent.
On peut effectivement intégrer du latex.

Citation :
Je ne comprends pas le raisonnement. La dérivée partielle est continue, donc majorée par une constante sur un compact, OK. Mais d'où vient la majoration sur IR2?


Décidément, c'est pas mon jour.
En effet, on doit se placer sur un compact.
t appartient à un compact, donc pas de problème de ce côté.
Pour x par contre, lorsque l'on veut montrer le caractère \Large{C^{1}} sur tout segment et là mon raisonnement marche.

(Encore) désolé !

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 20:47

Excuse-moi encore, Kaiser, mais je ne comprends pas ...
[pour que tu comprennes la situation: je prépare l'agreg interne, à laquelle j'ai échoué de epsilon l'an dernier, donc je dois être très clair quant aux outils utilisés et aux hypothèses]

Je ne vois pas quel théorème tu utilises, je ne connais pas cette "rêgle de Leibnitz"et donc je ne vois pas à quelle hypothèse répond la majoration de df/dx sur un compact (lequel? x est élément de R2. Est-ce une majoration locale? Est-ce suffisant?)

Je connais un théorème voisin, dit théorème de dérivation. df/dx doit être continue, mais en plus doit être dominée par une fonction de t seul intégrable . Sous cette condition, on peut "dériver sous le signe d'intégration". Est-ce cela? Help!

Citation :
Pour citer, il suffit de cliquer sur le bouton qui se trouve à gauche du bouton "latex".


Merci du renseignement!

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 21:08

C'est bien ça.
Ce que j'appelle règle de Leibniz, c'est justement le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
De plus, comme tu le sais, le caractère \Large{C^{1}} est une notion locale, donc une majoration locale suffit.
En effet, une fonction est de classe \Large{C^{1}} sur \Large{\mathbb{R}} si et seulement si elle de classe \Large{C^{1}} sur tout intervalle \Large{]a,b[} (ici j'ouvre l'intervalle car la notion de dérivabilité est définie sur les ouverts).

Ainsi, en appliquant le théorème de dérivation sur tout intervalle de ce type, on montre bien ce que l'on veut.
Dans l'exemple qui nous occupe, comme la fonction est de classe \Large{C^{1}} sur \Large{\mathbb{R}}, alors la dérivée partielle selon x est majorée en valeur absolue sur un compact donné du type \Large{[a,b]\times[0,1]} par une fonction constante (qui est, bien entendu, intégrable sur le segment [0,1]).
Bien sûr, le théorème dit qu'on pouvait se contenter de majorer par une fonction de t intégrable, mais bon une constante, c'est encore mieux.

Kaiser

P.S : Si tu as d'autres questions, n'hésite surtout pas à me les poser.

Posté par
jeansebre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 21:17

OK, c'est  clair!

Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale de t² exp(-t²) dt sur R 23-07-06 à 21:18


Rechercher
Menu
Espace membre
12 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !