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Intégrale dépendant d'un paramètre
Bonjour
Dans le cadre de la démonstration de , je cherche à justifier le résultat suivant:
Le théorème dont je dispose n'est valable que sur un ouvert (ici:]0;1[).
Si quelqu'un à une idée claire sur la question, ça m'arrangerait bien.
Merci!
Salut
Un moyen simple . A priori, la valeur que tu vas donner à F en 0 est 1, donc essaie de majorer F(x)-F(0) en arrangeant le tout et en utilisant la continuité de l'exponentielle.
Pourquoi la valeur de F en 0 serait de 1?
Est il possible de faire un calcul direct ici? Avec une double IPP par exemple?
J'ai un théorème de convergence dominée, mais valable sur un ouvert. Or je cherche à prouver la continuité en 0.
exp(-tx)sin(x) est une fonction continue à support compact, elle est donc dominée par une certaine constante, disons K.
Vue que tu intègres sur un compact ([0,1]), la mesure est finie et ta constante K est intégrable, le théorème de la convergence dominée s'applique donc.
Le théorème de la convergence dominée est valable sur un espace mesuré quelconque, pas uniquement sur les ouverts.
Pourquoi la valeur de F en 0 serait de 1?
C'est inexact. Comme la borne de droite est sans importance, j'ai proposé, pour avoir F() = 1 que la borne soit
/2.Ma méthode ne te plait pas?
C'est que je ne comprends pas bien:
-
exp(-tx)sin(x) est une fonction continue à support compact
Tu considères cela comme une fonction à une ou deux variables?
- Je comprends bien qu'une fonction continue sur un compact est bornée donc dominée. Mais quel est l'énoncé du théorème de convergence dominée que tu utilises?
- J'aurais une troisième question: comment tu prouves proprement que sint . e-xt est continue? Les fonctions à 2 variables sont capricieuses...
Bonsoir à tous
Jeanseb > cette fonction à deux variables est continue par les théorèmes généraux (composition, multiplication).
Tout d'abord, la fonction est continue, car polynômiale.
Ensuite, l'exponentielle est continue donc par composition est continue.
L'application est continue donc par continuité du sinus et par composition, l'application
est continue.
Enfin, est continue comme produit deux fonctions continues.
Kaiser
Le théorème de la convergence dominée est celui ci:
f_n mesurables et dominées par g dans L^1, alors si f_n converge p.p. vers une fonction f, f est dans L^1 et f_n converge de facon L^1 vers f.
Ici, l'idée est de poser
pour toute suite x_n qui converge vers 0.
a+
Si t'es courageux, tu peux montrer que tu as converge uniforme, ou une convergence suffisament belle pour que tu puisses passer la limite dans l'intégrale.
Le problème est que je ne suis pas sur que l'on ai effectivement convergence uniforme. (Je n'ai pas regaré les détails)
- Merci beaucoup Otto.
Mais ton énoncé ne me va pas: c'est un énoncé de L2 qu'il me faut (en clair utilisable à l'oral de l'agrégation interne). Je n'ai pas le droit aux fonctions mesurables et aux convergences presque partout.
- Merci Kaiser pour tes précisions.
Tu démontrerais comment la continuité, toi?
- Merci Cauchy
J'ai fait une tentative de démonstration de la continuité de F en 0 en utilisant les indications de tealc:
. Le premier terme tend vers 0
. le deuxième aussi car o(xt) 
o(x /2) = o(x)
Cette démonstration de la continuité de F en 0 est-elle correcte?
Ne vois-t-on pas le théoreme de continuité sous le signe somme en L2?
Sans utiliser la théorie de Lebesgue tu as du voir un théoreme de continuité quand on se place sur un compact en utilisant que toute fonction continue y est uniformément continue.
Tu démontrerais comment la continuité, toi?
Comme otto, sauf que, comme tu ne veux pas de fonctions mesurables, ni de presque partout, on utilise le théorème de convergence dominée mais qui ne concerne que les fonctions continues par morceaux (en gros, on remplaces "fonctions mesurables" par "continue par morceaux" et on enlève "presque partout")
Par contre, l'histoire du "petit o" sous l'intégrale me laisse perplexe".
Kaiser
-
Par contre, l'histoire du "petit o" sous l'intégrale me laisse perplexe".
Moi aussi, c'est pour cela que je vous soumettais ma tentative
-
Ne vois-t-on pas le théoreme de continuité sous le signe somme en L2?
Si, mais son énoncé concerne un ensemble ouvert pour les valeures de x, soit ]0;
/2[. Donc 0 est exclu.J'ai donné le théorème, maintenant à toi de l'adapter à tes besoins.
Tu n'as pas besoin d'hypothèses aussi générales comme le fait remarque Kaiser.
Sinon as tu regardé s'il y'avait convergence uniforme des fonctions?
Rien de plus facile que de passer de ton ouvert ]0,pi/2[ à ton fermé.
Tu n'as qu'à dire que tu intègres h(x,t) ou
h(x,t)=exp(-tx)sin(t) sur ]0,pi/2[
h(x,t)=0 sur ]-1,0] par exemple
Ca te permet d'appliquer ton théorème à h(x,t) sur ton intervalle.
Tu y perds, vue que ta fonction n'est plus continue, mais seulement continue à droite maintenant, mais ca ne devrait pas poser de probleme 
.
a+
Comme je te le dis plus haut,on peut s'en sortir si on reste sur un compact,la fonction (x,t)--->e^(-xt)sin(t) étant continue elle y est uniformément continue sur les compacts et on peut montrer la continuité de l'intégrale à la main en prenant une suite qui tend vers 0 par exemple.
On majore les différences uniformément par uniforme continuité et étant sur un compact on a plus qu'a multiplier par la longueur.
Bonsoir,
Je me permet de m'incruster dans ce topic.
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas appliquer le théorème de continuité sous la signe intégrale ?
A savoir :
f : x
-->
( t,x) -->
est une application continue sur
x
. Ainsi l'application :
F : -->
x
,
-->
est continue sur
.
Où est l'erreur ?
Mais pourquoi vous vous prenez la tete à faire une démo alors que c'est réglé en 2 secondes avec ce théorème ? y'a quelque chose qui m'échappe ...
Je sais pas moi j'ai signalé ce théorème car au départ otto voulait appliquer la convergence dominée mais apparemment jeanseb voulait une démo sans ca niveau L2.
Mais pour ce théoreme il faut bien etre sur un compact et utiliser la continuité uniforme hein 
e sais pas moi j'ai signalé ce théorème car au départ otto voulait appliquer la convergence dominée
Il n'y a que trois théorèmes à retenir pour intervertir limite et intégrale, la convergence dominée en est un.
C'est avec le théorème de Fubini(-Tonelli) le plus beau théorème de la théorie de l'intégration de Lebesgue
Oui otto je suis tout a fait d'accord avec ca c'est qu'apparemment jeanseb ne peut l'utiliser à l'agreg interne je trouve ca un peu bete comme règle m'enfin.
Bonsoir tout le monde!
Merci pour vos diverses contributions.
Effectivement, il n'y avait pas de quoi fouetter un chat dans cette démonstration. Vous l'avez dit et vous aviiez raison. Mais vos remarques m'ont fait prendre conscience de plein d'aspects de la question, et c'est important pour moi.
jeanseb ne peut l'utiliser à l'agreg interne je trouve ca un peu bete comme règle m'enfin.
Le problème est qu' on est censé savoir faire l'exo, mais aussi savoir démontrer les théorèmes qu'on utilise (côté pédagogique de l'épreuve). Je m'abstiens donc lorsque je ne connais pas.
A plus!
Bonsoir jeanseb,
mais peut on utiliser la théorie de Lebesgue si on sait redémontrer les théorèmes?
On peut te demander de tout remontrer?
Pas tout si c'est long, mais "en gros". Je te rappelle que c'est seulement l'agreg interne.
Mais si tu touches ta bille, tu peux utiliser des trucs plus costauds avec certains jurys. Il faut demander la permision, si j'ai bien compris...
C'est un peu normal, parce qu'on est censé expliquer à des élèves de L2, donc on ne peut pas balancer des trucs trop durs.
J'ai été clair?
On peut te demander de tout remontrer?
Moi, on m'a demandé de démontrer le théorème que j'utilisais dans un exercice ( un endomorphisme est diagonalisable ssi il a un polynome annulateur scindé simple - en dim finie).
Oui très clair,il y a combien de lecons à l'interne?
80 leçons et 80 leçons d'exercices.
les leçons sont moins nombreuses... mais plus vastes!
les leçons sont moins nombreuses...
Ca fait déja un bon paquet 160
un endomorphisme est diagonalisable ssi il a un polynome annulateur scindé simple - en dim finie).
Théorème de décomposition des noyaux je sais pas si après on t'as demandé celui la.
Le truc c'est que l'intégrale de Lebesgue n'est pas au programme tu peux pas tout redémontrer faut savoir d'ou on part.
Il existe des versions "faibles" de la convergence dominée et monotone, qui se voyaient avant en spé et en Deug. L'avantage est que l'on peut énoncer ses théorèmes sans théorie de la mesure, le désavantage est que l'on perd beaucoup en souplesse.
En fait, on perd même toute la philosophie des théorèmes 
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