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intégrale dépendant d un paramètre
bonjour à tous
j'aurais juste besoin d'une confirmation quand à cette question:
Soit f:
qui à x associe 
entre 0 et +
de 1/((1+t)t^x) dt
Déterminer l'ensemble de définition de f
j'ai trouvé avec des équivalents en 0 et + qu'il fallait respectivement x<1 et x>0 soit D=]0,1[
est-ce juste ?
merci d'avance
kaiser, l'homme qui répond plus vite que son ombre... ^^
merci
ensuite je dois prouver qu'elle est de classe C infinie et convexe sur D.
pour la classe C infinie, ça peut marcher par récurrence ?
et pour la convexité, il faut faire intervenir le log népérien non ?
Pour montrer que f est de classe , à quoi penses-tu quand tu dis "par récurrence" ?
Pour montrer que f est convexe, il suffit de montrer que la dérivée seconde est positive.
au fait, bravo pour ta (récente ?) promotion ^^
en disant par récurrence, je pensais montrer qu'elle était C1 puis il me semble qu'en sup on avait fait une récurrence pour montrer qu'une fonction était C infinie, mais c'était sans doute pour la définir.
Je te remercie Atlas (ça ne fait que quelques jours)
En fait, ici, on ne va pas se servir de la récurrence.
Il faut utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale en l'appliquant la dérivée n-ième par rapport à x de l'intégrande.
ok je vais essayer
sinon je viens de me rendre compte de quelque chose pour l'ensemble de définition:
en 0, 1+t est équivalent à 1 donc je prends entre 0 et 1 de 1/t^x dt et j'ai dit, d'après les intégrales de Riemann, qu'il y avait convergence ssi x<1 mais comment je fais pour déduire de la convergence, l'ensemble de définition ?
oui mais là je donne l'ensemble des x tel que l'intégrale converge
pourtant une intégrale peut être égal à l'infini quand on la calcule et malgré tout exister non ?
= implique qu'elle n'existe pas ?
Bonsoir Atlas, Bonsoir kaiser et félictation pour ton nouvel statut de correcteur qui est bien mérité;
Je crois que la convexité de peut se montrer sans passer par
:
on sait en effet que (se montre facilement par la convexité de
)
on peut donc écrire ou encore
en divisant par et en intégrant on voit que
et
est bien convexe.
Remarque:
Le changement de variable donne que
la droite d'équation
est donc un axe de symétrie pour la courbe représentative de
et vu que
est convexe elle présente un minimum global en
.
Sauf erreurs bien entendu 
Atlas > Effectivement, quand on dit qu'une intégrale existe, cela veut dire que la valeur de l'integrale est finie.
elhor_abdelali> Merci !
ah bah merci à vous 2
je vais essayer de continuer
une question sur les séries pour changer:
pour calculer 
de ((-1)^n)/4n+3 , on peut dire que c'est égal à de (-1)^n entre 0 et 1 de t^(4n+2) dt mais ensuite je fais comment pour poursuivre ?
et est-ce que la convergence uniforme implique la convergence normale ?
Justement non, la convergence normale entraîne la convergence uniforme, et pas le contraire.
Mais parfois, montrer la convergence uniforme (pas normale) peut se faire à l'aide du théorème spécial des séries alternées.
Utilise ceci pour intervertir les signes somme et integrale.
théorème spécial des séries alternées: pourtant on peut juste dire que la série converge mais pas de quelle manière avec ce théorème non ?
et pour mon calcul de la somme, c'est la bonne méthode ?
il faut que j'essaye d'écrire t^(4n+2) avec un développement en séries entières ?
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