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integrale dependant d un parametre

Posté par gouari (invité) 11-05-06 à 22:13

salut  tout le monde
j'ai un petit exo, voila:
soit f: ]0;+[ * [0;+[
(x;t)   si t superieur strict à  0 on a f(x;t) = sin(t)/te^xt
                          si t=0 on a f(x;t) = 1
et soit F(x) = (oà+) f(x;t).dt
la question est : 1) de montrer que F(x) est derivable sur]0,+[ etv de calculer sa derivee.
                  2) montrer que : F(x) = C - arctg(x) avec C est constante
                                                merci d'avance et a bientot!

Posté par
raymond Correcteurintegrale dependant d un parametre 12-05-06 à 12:05

Bonjour.
0°) Je me suis d'abord un peu penché sur l'existence de F.
¤ 3$\textrm \lim_{x\to{0}}f(x,t) = 1 : t --> f(x,t) est continue en 0, la borne inférieure d'intégration ne pose pas de problème.
¤ En l'infini, pour tout a > 1, 3$\textrm t^{a}|f(x,t)| \le t^{a-1}e^{-tx}. Cette dernière expression tendant vers 0 lorsque t tend vers + l'infini, on peut écrire, pour a = 2 :
3$\textrm \forall\epsilon > 0, \exists{t_0}, t > t_0 \Longrightarrow t^2|f(x,t)| \le \epsilon. Donc, |f(x,t)| \le \frac{\epsilon}{t^2}. Par comparaison avec une intégrale de Riemann, on est assuré de la convergence. F existe bien sur 3$\textrm ]0 ; +\infty[.
1°) En prévision du résultat "on dérive froidement sous le signe somme", j'étudie :
3$\textrm\lim_{h\to{0^+}}|\frac{F(x+h) - F(x)}{h} + \int_{O}^{+\infty}sint.e^{-xt}dt|.
L'écriture latex étant un peu longue, je garde l'essentiel : on arrive à regrouper dans l'intégrale le terme : 3$\textrm\frac{1 - th - e^{-th}}{th} que l'on peut majorer par th/2. On se retrouve avec une majoration : 3$\textrm\lim_{h\to{0^+}} (\frac{h}{2}\int_0^{+\infty}te^{-xt}dt), qui vaut 0. D'où : 3$\textrm\fbox{F'(x) = -\int_0^{+\infty}sint.e^{-xt}dt
2°) En intégrant deux fois par parties ce dernier résultat (calcul assez long), je trouve :
3$\textrm\fbox{F'(x) = - \frac{1}{x^2+1}}.
3°) Bien sûr, on reconnaît la dérivée de Arctan, d'où le résultat proposé.
Cordialement RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : integrale dependant d un parametre. 12-05-06 à 19:52

Bonjour raymond et gouari;
(*)raymond je suis d'accord pour le principe il y'a cependant des détails à éclaircir:
Pour monter le résultat quand \fbox{h\to0^-} on pourra remarquer que 2$\fbox{\forall u\le0\\|e^{-u}-1+u|\le u^2e^{-u}} choisissons alors 2$\fbox{x>0\\-\frac{x}{2}\le h<0} on peut écrire 2$\fbox{\frac{F(x+h)-F(x)}{h}+\int_{0}^{+\infty}sin(t)e^{-xt}dt=\int_{0}^{+\infty}sin(t)e^{-xt}(\frac{e^{-ht}-1+ht}{ht})dt} et donc 2$\fbox{|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}+\int_{0}^{+\infty}sin(t)e^{-xt}dt|\le\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}|ht|e^{-ht}dt\le|h|\int_{0}^{+\infty}te^{-\frac{xt}{2}}dt}

Posté par
raymond Correcteurintegrale dependant d un parametre. 13-05-06 à 09:29

Bonjour elhor_abdelali.
Merci pour cet heureux complément sur ce qui se passe dans TOUT un voisinage de 0 pour h.
Je me demandais également si l'on ne pouvait pas utiliser le théorème de Lebesgue pour la dérivation : dérivée partielle majorée, etc.
Cordialement RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : integrale dependant d un parametre. 13-05-06 à 13:40

Bonjour raymond;
(*)Je ne sais pas si le théoréme de lebesgue est au programme des BTS_{IUT} mais à mon avis quand elle est possible une preuve élémentaire est toujours préférable à un (gros) théoréme.
(*)Avec \fbox{\forall x>0\\F'(x)=-\frac{1}{1+x^2}} on a l'existence d'une constante réelle C telle que \fbox{\forall x>0\\F(x)=C-arctan(x)} et vu que \fbox{\forall x>0\\|F(x)|\le\int_{0}^{+\infty}e^{-xt}dt=\frac{1}{x}} on voit que 2$\fbox{\lim_{x\to+\infty}F(x)=0} et donc que \fbox{C=\frac{\pi}{2}} ainsi si on peut monter la continuité de F en 0^+ on aura en bonus le fameux résultat 3$\blue\fbox{\int_{0}^{+\infty}\frac{sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}}

Posté par
raymond Correcteurintegrale dependant d un parametre. 14-05-06 à 00:03

Bonsoir elhor_abdelali.
Bien d'accord avec toi au sujet des preuves élémentaires. De toute façon, ces théorèmes de Lebesgue, à moins de s'en servir très régulièrement, on a toujours l'impression d'omettre une des hypothèses d'application. En outre, pour cette théorie de Lebesgue on ne se demande pas "qu'ai-je le droit d'écrire", mais plutôt "que n'ai-je pas le droit de ne pas écrire" tant elle a tendance à faire apparaître les résultats évidents. Enfin, tout ceci n'engage que moi, peut-être ne suis-je pas assez fûté pour en voir tous les avantages !
Cordialement RR.


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