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Niveau terminale
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Integrale difficile

Posté par
FerreSucre 17-01-20 à 17:03

Bonjour je cherche à résoudre cette intégrale je suis un peu bloqué j'ai essayé des variables mais rien de concluant :
\int_{0}^{1}{\frac{x^{4}+6}{x^{3}+1}dx}
Avez vous quelques idées ou indices pour moi svp merci !

Posté par
matheuxmatoure : Integrale difficile 17-01-20 à 17:20

bonsoir

niveau terminale ?

pas 'indications dans les questions précédentes ?

décomposition en éléments simples, cela te dit quelque chose ?

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 17:32

On ne peut pas ici non ?
x^{4}+6 > x^{3}+1
Je suis pas sûr faut pas me criez dessus j'essaye d'apprendre...

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 17:38

et ce n'est pas du terminale justement j'essaye d'apprendre pour d'autres intégrale j'ai juste appris le changement variable et ducoup j'ai regarder vite fait la décomposition en éléments simples vue que tu me l'as dit.

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale difficile 17-01-20 à 17:41

Mais si on peut, simplement il y aura la partie entière (du quotient des deux polynômes) avant les fractions

\dfrac{x^4+6}{x^3+1} = x + \dfrac{a}{x+1}+ \dfrac{bx+c}{x^2-x+1}

(après avoir trouvé que x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) évidemment).

Posté par
matheuxmatoure : Integrale difficile 17-01-20 à 17:42

griller des étapes sans avoir une théorie sérieuse derrière ne sert à rien et est totalement contreproductif !

c'est un exo qu'on t'a donné en cours ?

Posté par
matheuxmatoure : Integrale difficile 17-01-20 à 17:43

Glapion
certes... mais que va-t-il en faire du terme de deuxième espèce ? il connait l'arctangente ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale difficile 17-01-20 à 17:47

inversement, c'est plutôt bien les gens qui cherchent à savoir en avance, à son age, je faisais ça tout le temps . ne le décourageons pas.
Cela dit pour aboutir dans le cas présent, il va falloir qu'il sache la décomposition en éléments simples mais pas seulement, il faudra qu'il sache intégrer le (bx+c)/(x²-x+1) (en faisant apparaître un arc tangente, etc...) . Mais c'est accessible pour un élève de terminale motivé.

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale difficile 17-01-20 à 17:51

Cela dit matheuxmatou je comprends ta réticence, les profs détestent qu'on apprennent des trucs à la va vite en avance de phase. C'est normal, ça fausse la progression logique et progressive de l'acquisition des connaissances mathématiques.

Posté par
matheuxmatoure : Integrale difficile 17-01-20 à 17:55

Glapion oui... et parfois on chope des défauts (normaux quand on débute sur un sujet) que personne ne corrige, donc qui s'installent en profondeur, et dont on n'arrive plus à se débarrasser ensuite... voilà pourquoi je dit cela.

et en zappant comme ça sur le net sans contrôle d'une personne avisée, on trouve pas mal de trucs foireux qui risquent de desservir les élèves curieux... c'est dommage

avant on le faisait en fouillant dans des bouquins, qui étaient vérifiés et donc plus fiables... d'où ma méfiance avec les moyens douteux...

Posté par
carpediemre : Integrale difficile 17-01-20 à 17:58

salut

Glapion @ 17-01-2020 à 17:47

inversement, c'est plutôt bien les gens qui cherchent à savoir en avance, à son age, je faisais ça tout le temps . ne le décourageons pas.
Cela dit pour aboutir dans le cas présent, il va falloir qu'il sache la décomposition en éléments simples mais pas seulement, il faudra qu'il sache intégrer le (bx+c)/(x²-x+1) (en faisant apparaître un arc tangente, etc...) . Mais c'est accessible pour un élève de terminale motivé.
certes oui aller à la frontière du connu est une chose et c'est positif ... mais à aller totalement hors du connu (ne plus voir les rives) on risque de se perdre

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 18:08

Un élève de première motivé ! ;') Je me dit surtout que au moins j'ai le temps d'apprendre tranquillement le programme de 1ere  est léger.
Et oui j'ai vue vite fait l'arctan mais sinon je peux me servir d'un tableau de primitive y'en a partout.
Donc :
\frac{x^{4}+6}{x^{3}+1} = x + \frac{a}{x+1}+\frac{bx + c}{x^{2}-x+1}
On prend x = 0 et 1 et 2
On a :
a+c = 6
1+\frac{a}{2} + b + c = \frac{7}{2}
2+\frac{a}{3} + \frac{2b + c}{3}=\frac{22}{9}

C'est ça ? Et on resout le systeme 3 ?

Posté par
matheuxmatoure : Integrale difficile 17-01-20 à 18:12

si tu veux !

bien qu'il y ait beaucoup plus simple !

d'où ma remarque sur les problèmes qu'on rencontre en sautant des étapes dans l'apprentissage

et comprends-tu pourquoi cela s'écrit sous cette forme ?

mais bon vas-y

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 19:53

J'ai l'impression de me faire défoncer parce que je veux apprendre ^^ et je vais mieux regarder la décomposition en éléments simples et ect... comme je dit j'y vais tranquillement le temps ne presse pas je découvre petit à petit. Bref !
Donc :
a = \frac{7}{3}
b = \frac{-14}{6}
c = \frac{11}{3}
Désolé pour l'absence j'étais occupé.
Donc apres on réecrit l'intégrale.

\int_{0}^{1}{x + \frac{\frac{7}{3}}{x+1} + \frac{\frac{-14}{6}x+ \frac{11}{3}}{x^{2}-x+1}}dx
Ok on est là !

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 20:04

Bonsoir,

on écrirait plutôt

x + \dfrac{7}{3(x+1)}- \dfrac{7x-11}{3(x^2-x+1)}

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:09

On peut sortir les premières fractions de l'intégrale ? On a :

\int_{0}^{1}{x}dx + \frac{7}{3}\int_{0}^{1}{\frac{1}{x + 1}}dx +\int_{0}^{1}{\frac{\frac{-14}{6}x+ \frac{11}{3}}{x^{2}-x+1}}

On peut résoudre le debut facilement il me semble :
[\frac{1}{2}x^{2} + ln|x+1|]_{0}^{1} +\int_{0}^{1}{\frac{\frac{-14}{6}x+ \frac{11}{3}}{x^{2}-x+1}}

Je suis toujours bon ou je me suis trompé ?

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:10

Effectivement pirho j'ai pas pensé à simplifier !

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 20:17

il manque le dx dans ta dernière intégrale plus la simplification(voir mon post)

personnellement  j'aurais écrit les 2 premiers termes après avoir calculé la dernière intégrale

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 20:22


pour calculer la dernière intégrale tu peux poser

I= \int_0^1\dfrac{7x-11}{x^2-x+1}~dx

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:28

Euh y'a \frac{-1}{3} devant l'intégrale mais oui je l'ai posé j'y réfléchis mdr

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:34

Hmm j'ai un truc intéressant je pense
J'ai posé :
u = x - 1
\int_{-1}^{0}{\frac{7u-4}{u^{2}-3u+1}}
Ducoup j'ai Δ = 5 pour le Q(x) en bas, je peux factorisent et décomposé en éléments simples non ?

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 20:35

tu pourras multiplier par   -\dfrac{1}{3}   quand tu auras fini

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:39

Yes et j'avais oublié un 7/3 devant le Ln|x+1| tout à l'heure ducoup je peux décomposer en éléments simples ?

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:52

Donc :
Δ = 5, r_{1} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} | r_{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}
Soit j'ai ça il me semble ? Dit moi si c'est bon svp :
L'intégrale = \int_{-1}^{0}{\frac{A}{x-r_{1}} + \frac{B}{x-r_{2}}dx
??? C'est bon ?

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 20:55

Faut que je m'occupe aussi du 7u -4 non ?

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 21:00

non ce n'est pas la méthode.

il faut d'abord faire apparaître la dérivée du dénominateur, au numérateur et compléter le numérateur pour que ce soit égal à 7x-11

Posté par
Priamre : Integrale difficile 17-01-20 à 21:01

Il me semble que le dénominateur de la fonction sous devrait être   u² + u + 1  . . .

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 21:02

Ah bon y'a la dérivée dans le decomposement en éléments simples ?

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 21:07

\dfrac{7x-11}{x^2-x+1}=..\dfrac{2x-1...}{x^2-x+1}

dans le 2e terme qui remplace les... tu vas faire apparaître un arctan

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 21:10

Je suis pas sûr d'avoir tout compris .... le arctan c'est seulement pour 1/x² + 1, je peux donc décomposer en éléments simples comme j'ai mis au debut et faire apparaître des ln ? Non ?

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 21:15

Citation :
l' arctan c'est seulement pour 1/(x² + 1) non


je crois que ce n'est pas la méthode attendue

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 21:17

Hmm je suis un peu perdu je peux faire ce que j'ai dit ducoup ou pas ? Merci pour ton aide quand même ^^

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 21:25

c'est ici qu'un problème dû à un manque de théorie se pose

\int \dfrac{dx}{ax^2+bx+c}  avec le discriminant b^2-4ac < 0 conduit à un arctan

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 21:33

Oui mais mon discriment Δ est positif j'ai fais un changement de variable sur u , c'est juste que d'égoïstes j'écris x au lieu de un mais la l'intégrale que j'ai à résoudre maintenant est :
\int_{-1}^{0}{\frac{7u-4}{u² - 3u + 1}}du
Donc Δ > 0 donc décomposition en éléments simples non ?

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 21:34

*que defois j'ecris « x »au lieu de « u »

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale difficile 17-01-20 à 22:55

tu devrais faire comme te l'a conseillé Pirho

\dfrac{7x-11}{x^2-x+1}=\dfrac{7}{2}.\dfrac{2x-1-\frac{20}{7}}{x^2-x+1}
le \dfrac{7}{2}.\dfrac{2x-1}{x^2-x+1} est facile à intégrer (c'est un u'/u)

et pour -\frac{20}{7} \dfrac{1}{x^2-x+1} tu fais apparaître un arctan

=-\frac{20}{7} \dfrac{1}{ (x-1/2)^2+3/4}
et si tu poses u = \dfrac{2}{\sqrt{3}}(x-1/2) et que tu fais le changement de variable, tu devrais voir apparaître le du/(1+u²) que tu voulais.

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 23:18

J'ai trouvé un truc ... je suis pas sûr tellement de racines et de fractions ;

[\frac{1}{2}x² + \frac{7}{3}ln|x+1|]_{0}^{1} + [\frac{-13\sqrt{5}+35}{10}ln|20u-30+10\sqrt{5}| + \frac{13\sqrt{5}+35}{10}ln|20u-30-10\sqrt{5}|]_{-1}^{0}

À vérifier... faut que je calcul maintenant yes super ! Mdrr

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 17-01-20 à 23:19

bonsoir Glapion

sauf erreur de ma part, c'est -\dfrac{15}{7} au lieu de -\dfrac{20}{7} , non?

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale difficile 17-01-20 à 23:20

et je ne vois pas d'arctan dans ton résultat

Posté par
Glapion Moderateurre : Integrale difficile 17-01-20 à 23:27

oui Pirho tu as tout à fait raison :

\dfrac{7x-11}{x^2-x+1}=\dfrac{7}{2}.\dfrac{2x-1-\frac{15}{7}}{x^2-x+1}

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 23:43

Je pense que j'ai bon mais j'arrive pas à calculer, je sais pas ou mettre les valeurs absolues mais sinon en vérifiant grace au graphique et ect ça devrait fonctionner.
Merci de m'aider en fait sur la partie qui est longue du milieu à droite la courbe est sous l'axes des abscisses donc la valeurs absolues je l'a met sur tout ? Il me semble et je tombe sur un résultat style, 4,952718... environ.
Et d'après le graphe le résultat est vers 5
Je suis pas trop sûr je suis un peu fatigué mais le résultat est assez cohérent !

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 17-01-20 à 23:47

Bah je tombe sur 4,952718... environ et j'ai pas vue comment faire avec arctan j'ai poser u=x-1 et j'ai remplacé partout par u et changer du mais ducoup du = dx
Et je suis tomber sur :
[tex]\frac{7u - 4}{u² - 3u + 1}
J'ai pu donc factoriser et utiliser la décomposition en éléments simple et donc j'ai décomposé en deux intégrale et j'ai fait apparaître u'/u , d'où mes Ln partout.

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 18-01-20 à 00:35

Je me suis sûrement trompé car il y a un site qui trouve les intégrales et il donne comme valeurs 5.11...

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 18-01-20 à 00:48

Je vois bien comment il faut faire avec le arctan mais je comprends pas d'où sort le \frac{2}{\sqrt{3}} pour le u, je me doute bien que c'est pour que ça donne :
1/u² + 1 et ainsi faire le arctan , mais je comprends pas comment on peut trouver
2/√3 , merci pour votre aide en tout cas !

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 18-01-20 à 01:14

Je comprends pas du tout, j'arrive pas à tomber sur 1/u²+1, du = 2/√3dx donc
Ta √3/((x-1/2)²+3/4)*2, ? On sort la constante ? √3/2*..... j'ai du mal là

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 18-01-20 à 09:17

x^2-x+1=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}=  \dfrac{3}{4}[\dfrac{(\dfrac{2x-1}{2})^2}{\dfrac{3}{4}}+1}]}=\dfrac{3}4}[(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}})^2+1]

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 18-01-20 à 10:54

Je réessaye sans le arctan encore :

[ \frac{1}{2}x² + \frac{7}{3}ln|x+1| ]_{0}^{1} + [\frac{-2}{21}ln|x²-x+1| ]_{0}^{1} +[\frac{-5\sqrt{5}}{7}ln|u+\frac{-3+\sqrt{5}}{2}|+ \frac{5\sqrt{5}}{7}ln|u+\frac{-3-\sqrt{5}}{2}| ]_{-1}^{0}

Normalement celle ci elle est bonne je pense !

Posté par
matheuxmatoure : Integrale difficile 18-01-20 à 10:56

sans arctan c'est pas possible

et je vois pas bien d'où peuvent venir tes

(-3 5) / 2

Posté par
FerreSucrere : Integrale difficile 18-01-20 à 11:10

Ahrr je comprends pas ma dernière intégrale est bonne les deux premières aussi mais y'a un probleme dans la ln|x² - x + 1|

Posté par
Pirhore : Integrale difficile 18-01-20 à 11:13

bonjour matheuxmatou

un peu têtu notre ami!

la réponse finale avec  arctan évidemment

\dfrac{1}{2}+\dfrac{5~\pi}{3\sqrt{3}}+\dfrac{7}{3}~ln(2)

1 2 +


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