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Intégrale double

Posté par
Gachouchinette 24-05-08 à 15:51

Bonjour à tous, je ne maitrise pas très bien les intégrales doubles et j'aurai besoin d'un petit peu d'aide sur cet exercice:

Calculer, d'abord directement, puis en utilisant la formule de Green-Riemann, (y+xy)dx sur la courbe orientée dans le sens trigonométrique constituée des portions de courbes comprises entre les points d'intersection de y1=x et y2=x².

Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Intégrale double 24-05-08 à 16:02

Salut

On veut calculer 3$\rm \Bigint_{(P)} (y+xy)dx où (P) est l'arc de parabole d'équation y=x² pour x compris entre 0 et 1 (points d'intersection).

Cela revient donc à calculer :
3$\rm \Bigint_{0}^{1} (x^{2}+x^{3})dx=\[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}\]_{0}^{1}=\frac{7}{21}

A toi d'essayer avec Green-Riemann

Posté par
perroquetre : Intégrale double 24-05-08 à 16:08

Bonjour.
C'est l'Officiel de la Taupe, planche 114, premier exercice
Voici une solution que j'avais écrite.

On compte sur le lecteur pour faire le dessin (indispensable)

\bigskip

\gamma est la réunion de deux arcs paramétrés \Gamma_1 et \Gamma_2 définis par:

\Gamma_1: \qquad \forall t \in [0,1] \quad x(t)=t \qquad y(t)=t^2 \qquad
\tilde{\Gamma}_2: \qquad \forall t \in [0,1]\quad x(t)=t \qquad y(t)=t \qquad
\Gamma_2 se déduit de \tilde{\Gamma}_2 en prenant l'orientation opposée.

\displaystyle \int_{\Gamma_1}(y+xy)\, {\rm d} x=\int_0^1 (t^2+t^3) \, {\rm d} t=\frac{ 1}{3}+\frac{ 1}{4}
\displaystyle \int_{\Gamma_2}(y+xy)\, {\rm d} x=-\int_0^1 (t+t^2) \, {\rm d} t=-\frac{ 1}{2}-\frac{ 1}{3}

\fbox{ \displaystyle \int_{\gamma}(y+xy)\, {\rm d} x=-\frac{ 1}{4}}

Notons A le domaine intérieur à \Gamma .

A=\{(x,y)\in{\mathbb R^2}\quad 0 \leq x \leq 1 \quad {\rm et} \quad x^2 \leq y \leq y \}

On notera \quad P(x,y)=y+xy \quad . On a, en utilisant la formule de Green-Riemann:

3$\int_{\gamma}Pdx=-\int\!\!\!\int_A \frac{ \partial P}{\partial y} \, {\rm d} x \, {\rm d} y = -\int\!\!\!\int_A (1+x) \, {\rm d} x \, {\rm d} y

Or:
\displaystyle \int\!\!\!\int_A (1+x) \, {\rm d} x \, {\rm d} y =\int_0^1 \left(\int_{x^2}^{x}(1+x) \, {\rm d} y\right) \, {\rm d} x=\int_0^1 (1+x)(x-x^2) \, {\rm d} x= \frac{ 1}{4}

Et on retrouve donc que \displaystyle \int_{\gamma}(y+xy)\, {\rm d} x=-\frac{ 1}{4}}

Posté par
Nightmarere : Intégrale double 24-05-08 à 16:09

désolé j'avais mal compris la définition du domaine!

Posté par
Gachouchinettere : Intégrale double 24-05-08 à 16:09

Merci beaucoup à tous les deux.

Posté par
perroquetre : Intégrale double 24-05-08 à 16:10

bonjour, Nightmare

Tu as oublié un morceau de la courbe  


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