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INtégrale double musclée

Posté par
Erik 18-06-08 à 19:54

Bonsoir! J'aurai besoin d'un petit coup de pouce pour la résolution d'une intégrale double.
Soit a ]0,1[ et delta= {(x,y) tq 0x/2  et 0ya } Je veux calculer delta\frac{dxdy}{1+ycos(x)}

J'ai donc fait ceci:

\Bigint_{0}^{a}\[\Bigint_{0}^{\frac{pi}{2}}\frac{dx}{1+ycos(x)}\]dy

J'ai travaillé sur l'intégrale dans les crochets, en remplacant cos(x) par \frac{1-tan^2(\frac{x}{2})}{1+tan^2(\frac{x}{2})}
Ca me fait ça : \Bigint_{0}^{\frac{pi}{2}}\frac{1+tan^2(\frac{x}{2})}{(1+y)+(1-y)tan^2(\frac{x}{2})}dx

J'ai fait un changement de variable selon les règles de bioche avec (u)=tan(x/2) et f(t)=\frac{2}{1+y+(1-y)t^2}

j'ai donc \frac{2}{1+y}\Bigint_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2\frac{1-y}{1+y}}dt

Ce qui me fait \frac{2}{\sqrt{1-y}\sqrt{1+y}}Arctan\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}  Est-ce que vous trouvez pareil ?


Maintenant il me fait l'intégrer pour y variant entre 0 et a et je vois pas du tout comment faire, je devine qu'il y a un changement de variable à faire mais lequel.

Merci de m'aider

Posté par
Arkhnorre : INtégrale double musclée 18-06-08 à 20:50

Bonjour.

Je n'ai pas encore fait les calculs, mais mon logiciel de calcul formel fournit le même résultat que le tien, mais n'arrive pas à déterminer l'intégrale par rapport à y.

J'y réfléchis

Posté par
Erikre : INtégrale double musclée 18-06-08 à 20:56

ok merci
n'hésites pas à postez si tu trouves lol

Posté par
Nightmarere : INtégrale double musclée 19-06-08 à 01:38

Salut

En posant 3$\rm y=cos(\phi) on s'en sort :

3$\rm \Bigint_{0}^{a} \(Arctan\sqrt{\frac{1-y}{1+y}}\)\frac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=-\Bigint_{\frac{\pi}{2}}^{Arccos(a)} \frac{\phi}{2}d\phi=\frac{1}{4}\[\frac{\pi^{2}}{4}-Arccos^{2}a\]


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