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Intégrale du module d'un polynome complexe
Bonjour,
soit P un polynôme de 
[X] de degré d
ou ak sont des complexes
Calculer
(le résultat a obtenir est )
Bonjour.
En développant l'intégrale, on trouve des primitives d'expressions du type exp[i(k-l)
] entre 0 et 2
. Elles donnent 0 si k et l distincts, et 2 si k = l.
D'où le résultat que tu souhaitais.
A plus RR.
Salut, on peut faire la meme chose en un peu plus léger : on cherche à prouver l'égalité de deux forme bilinéaire, il suffit de la vérifier pour les élements d'une base, les monomes. et pour des monomes le calcule est imédiat.
mais c'est exactement la meme chose que ce qua dit raymond
ouai j'ai été un peu vite dans mon explication : on pose P=sommes des ak*x^k, Q=somme des bk*x^k
et l'égalité qu'on cherche à montrer est : 1/2Pi*intégral de Q(exp(ix))*conj(P(exp(ix))) = somme des bk*conj(ak)
la on a bien deux forme bilineaire.
Une autre manière de voir les choses.
Posons et appelons C le cercle de centre O, de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct. Alors
Les termes à intégrer sont du type :
En multipliant par zl et en tenant compte de |z| = 1, ces termes donnent : .
Ce dernier résultat donne des fonctions ayant des primitives sur C sauf si k = l.
Donc pour k et l distincts l'intégrale est nulle. Pour k = l, sachant que :
on retrouve bien le résultat.
A plus RR.
ouau, sauf erreur ca ressemble à un cas particulier de la formule de parseval pour des polynomes trigonométrique
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