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Intégrale en somme d'intégrale

Posté par
DejaPris 09-08-22 à 16:47

Bonjour à tous,

Je naviguais tranquillement sur un forum de Mathématiques (impossible de retrouver le lien) et j'ai vu ça :
\int_{1}^{n+1}ln(t)dt={\sum_{k=1}^{n}{ \int_{k}^{k+1}ln(t)dt}}

La personne qui donnait cette aide évoquait qu'une relation de Chasles émise sur l'intégrale pouvait démontrait son propos.

Malheureusement, je ne vois pas du tout comment démontrer ceci.
Ce résultat m'intrigue car il n'est pas dans mon cours (1ere année de classe prépa), quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur cette formule?,théorème?, propriété?

Je vous remercie de m'avoir lu.

Bonne fin de journée !

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 16:53

Bonjour

développe l'écriture de ton sigma \sum_{k=1}^{n}...

Posté par
Camélia Correcteurre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 16:54

Bonjour

Tu as certainement dans ton cours la propriété de Chasles,

\int_a^bf(t)\,dt+\int_ b^cf(t)\,dt=\int_a^cf(t)\,dt

La relation que tu proposes s'en déduit facilement!

Posté par
Zrunre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 16:54

Bonjour,

Cela découle du résultat suivant :

\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f pour f intégrable sur (a, b) et (b, c) , que l'on appelle souvent relation de Chasles

Posté par
DejaPrisre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 18:11

Bonjour à tous,

Tout d'abord merci de votre attention.

Concernant la relation de chasles, je pense qu'il faut l'appliquer l'intégrale de 1 à n+1 ?  :
\int_{1}^{n+1}{ln(t)dt}=\int_{1}^{n-1}{ln(t)dt}+ \int_{n}^{n+1}{ln(t)dt}

Je pense qu'un terme doit se "transformer " en somme, mais je ne vois pas comment.
Il faudrait donc appliquer la relation de chasles  au terme avec la somme ?

Concernant l'indication de développer la somme, faut il résoudre l'intégrale puis se débrouiller avec la somme ? Ce que j'avance me paraît compliqué parce que je ne connais pas de formule pour résoudre une somme avec un ln.

J'ai également vu (sur internet, lors de mes recherches pour résoudre mon problème) un théorème d'inversion serie-integrale. Peut s'appliquer dans ce cas même si on ne pas de serie ni l'intégrale impropre (l'exemple que j'ai vu avais ces caractéristiques) ?

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 18:19

non mais...

\sum_{k=1}^{n}{ \int_{k}^{k+1}\dots= \int_{1}^{2}\dots+\int_{2}^{3}\dots+\dots +\int_{n}^{n+1}\dots

non ?

Posté par
DejaPrisre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 18:26

Oui bien sûr !

Merci beaucoup j'ai compris, on applique ensuite la relation de chasles et on retombe sur le résultat souhaité.

Je suis allé chercher trop loin alors que c'était tout bête...

Merci beaucoup pour votre aide et votre réactivité !

Posté par
malou Webmasterre : Intégrale en somme d'intégrale 09-08-22 à 18:31

c'était cela que j'entendais par développe ton signe sigma...quand on ne sait plus, ça peut souvent aider...
Bonne soirée


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