Bonjour,

N'importe quel exemple où l'on utilise la convergence absolue pour prouver la convergence répond à la question.
Mais c'est peut-être trop générique.

Cordialement
Frenicle

Bonjour casiopée et frenicle



Je me rappelle que la démonstration de la règle d'Abel pour la convergence des intégrales utilise le théorème de Cauchy.




Je n'ai pas sous la main d'exemples concrets dans lesquels l'utilisation du critère de Cauchy est la plus judicieuse, mais voici deux résultats généraux où on peut s'en servir:





1)Soit f une fonction réelle continue et périodique dont l'intégrale entre 0 et l'infini converge.Alors f est la fonction nule.



2)Soit f uniformément continue de [a;+[ dans dont l'intégrale sur [a;+[ converge.Alors .



Tigweg

Merci pour vos réponses, je vais tout de suite potasser cela.

J'ai encore une question sur le théorème de convergence uniforme :"Soit (fn) une suite de fonctions continues sur un intervalle borné I et convergeant uniformément sur I vers une fonction f continue sur I alors f est intégrable sur I (.../...). Dans ma démonstration j'utilise l'hypothèse I borné et je me demandais si I devait être absolument borné?
Je sais que oui si les fonctions (fn) sont continues par morceaux; j'ai comme contre-exemple fn(x)= 1/n sur [0;n] et 0 sinon.Mais si les (fn) sont continues en est-il de même ?

Casiopée

Avec plaisir en ce qui me concerne

Déjà, si les fn sont toutes continues, et si fn converge uniformément vers f, alors f est nécessairement continue sur I, donc il n'est pas nécessaire d'imposer dans l'énoncé la continuité de f, elle est acquise.

Ensuite ton contre-exemple ne me semble pas marcher car ta suite fn converge uniformément vers 0 qui est intégrable sur R!

Enfin, la continuité n'implique l'intégrabilité que sur un intervalle borné, par exemple la suite constante fn(x)=x converge uniformément vers f(x)=x sur R, mais f n'est pas intégrable sur R!
En fait tu peux considérer des intervalles non bornés, mais il faut dans ce cas remplacer le mot "intégrable" par "localement intégrable" (i.e. intégrable sur tout segment inclus dans I).


Tigweg

Pour mon contre-exemple, oui f est intégrable mais =1 alors que lim=0, et la fin du théorème est l'intégrale de f est égale à la limite de l'intégrale de fn et donc c'est bien un contre-exemple.
Pour le reste encore et toujours MERCI
Sinon les cours se passent bien ?

Casiopée

Excusez- moi j'ai mis le n à la mauvaise place dans mes intégrales, il faut lire :=0 et lim=1

D'accord! Je me disais bien que tu avais dû oublier un x quelque part dans ta formule fn(x)= 1/n sur [0;n] et 0 sinon.

Oui les cours se passent bien, à part que j'ai un paquet de STG à corriger et que je n'en ai pas euh...comment dire...une envie folle?
Et tes révisions, ça avance?
Tu te réconcilies peu à peu avec l'Analyse?

Tigweg

Oui ça y'est après deux mois intensif d'analyse je crois que je me suis un peu réconcilié avec cette notion. Quant à avancer oui j'avance même bien, mais il y tellement de choses à assimiler... honnêtement j'essais de ne pas y penser.
Allez bon courage pour tes copies, ne sois pas trop dur c'est des STG...
Bonne soirée
Casiopée