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intégrale et inégalité
Bonjour à tous,
voila une partie de mon dm de maths sur laquelle je bloque :
on sait que 
0x(x-t)3sin(t)dt=6sin(x)-6x+x3
car on l'a prouvé
1-démontrer que pour tout x réel :
abs0x(x-t)3sin(t)dt
x4/4
2-en déduire qu'au voisinage de 0, sin(x)=x - x3/6 + négligeable devant x3
abs=valeur absolue
Merci par avance pour votre aide a tous.
Bonjour,
1- tu montres que : (x-t)^3 < x^3 puis |sin(t)| <= 1, avec ca tu pourrais aboutir à ta première inégalité.
2- remplaces ton intégrale par la valeur que tu as trouvé en 1-, il reste plus qu'à utiliser l'inégalité précédente pour obtenir le résultat demandé...
Pour la question 1: on majore la valeur absolue de l'intégrale par l'intégrale de la valeur absolue et on utilise que abs(sin(t))<=1 il reste alors une intégrale qui est égale à x^4/4.
Avec l'égalité donnée en début, en remettant dans l'ordre :
sin(x) = x-x^3/6+h(x) avec abs(h(x))<=x^4/4 donc h(x)=o(x^3) au vosinage de 0.
en gros ça reviens à démontrer que :
(sin(x) - x + x^3/6)/x^3 -> 0 quand x->0 ... donc tu vois mieux comment faire ?
pour la 1 j'ai fait:
valeur absolue de l'intégrale est inférieure à l'intégrale des valeurs absolue
or abs de sint<=1 d'où par produit croissance et positivité de l'intégrale:
abs de l'intégrale de (x-t)^3.sint <= intégrale de 0 a x de abs de (x-t)^3 = x^4/4
merci encore
bien fais pour la 1.
Ensuite, justement ta limite utilise le résultat que tu viens d'établir !
Alors ça donne quoi à ton avis ?
on sert de sint=t-t^3/6 négligeable devant x^3
ça donne sint-t=-t^3/6 négligeable devant x^3
et après on pouré ptetr multiplier par 1/t²
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