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Intégrale et inéquation

Posté par
evoly
21-04-17 à 12:33

Bonjour j'ai un problème dans un exercice,

on dispose d'une fonction Fn(t)=1/[1+t+t^2+t^3+...+t^(n-1)] ce qui correspond à l'inverse de la somme pour k allant de 0 à n-1 de t^k .
Et d'une intégrale Un; Un étant l'intégrale de 0 à 1 de la fonction Fn(t)

Dans une question précédente j'ai prouver que Fn(t)-(1-t) = [(1-t)*t^n]/(1-t^n)]

Et la question est :

En déduire d'après la question précédente, que pour tout n>1 , 0<Un-(1/2)<1/(n+1)

Je ne sais pas comment procéder, quelqu'un pourrait t-il m'aider ?

Posté par
Kamsky
re : Intégrale et inéquation 21-04-17 à 12:58

Bonjour,
Vous pouvez majorer le second membre de l'égalité en remarquant que  \frac{1-t}{1-t^n}\le{1}

Posté par
luzak
re : Intégrale et inéquation 21-04-17 à 13:00

Bonjour !
Pour 0<t<1 tu peux majorer \dfrac{1-t}{1-t^n} et il te reste à calculer \int_0^1t^n\mathrm{d}t

Posté par
Kamsky
re : Intégrale et inéquation 21-04-17 à 13:10

Inférieur ou égal à 1 sur l'intervalle considéré, bien sûr...

Posté par
evoly
re : Intégrale et inéquation 21-04-17 à 14:37

Bonjour Kamsky et Luzak, merci de vôtre réponse.

Si j'ai bien compris j'encadre Fn tel que : 0<Fn<1 pour 0<t<1
Mais en intégrant je trouve donc 0<Un<1 ce qui ne marche pas?

Posté par
Kamsky
re : Intégrale et inéquation 21-04-17 à 15:03

Non, vous aurez
0\le {F_{n}-(1-t) }\le t^n
qu'on intègre

Posté par
evoly
re : Intégrale et inéquation 22-04-17 à 15:27

j'ai réussi la question, merci Luzak et Khamski pour vôtre investissement j'en suis reconnaissant

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