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integrale et partie entiere

Posté par jacko78 (invité) 12-05-06 à 14:21

Bonjour a tous, j'ai un petit souci avec une integrale avec une partie entiere, pourriez vous m'aider a me lancer dans cet exercice svp ? Ca serait vraiment sympa, voila ce qu'il en est :

Comment montrer que la fonction definie sur \mathbb{R}^{+*} par f(x)=\Bigint_0^x [t] dt ou [t] designe la partie entiere de t, est continue sur \mathbb{R}^{+*} et admet en tt point x de cet intervalle une derivée a gauche et une derivée a droite que l'on explicitera ?

Merci a tous d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : integrale et partie entiere 12-05-06 à 14:25

Bonjour,

Pour la continuité de f, il me semble que tu as un théorème dans le cours, non ?

Nicolas

Posté par philoux (invité)re : integrale et partie entiere 12-05-06 à 14:37

une question de béotien

est-ce que toute fonction f(x) définie par intervalles (valeur finie) a une primitive F(x)=Somme_0 à x_f(t).dt continue ?

Quelles conditions sur f ?

Merci

Philoux

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : integrale et partie entiere 12-05-06 à 15:49

Il suffit que la fonction sous l'intégrale soit intégrable au sens vu en lycée.
La preuve, triviale, repose sur le fait que f est bornée sur un intervalle.

Soit x0 positif.
Soit b tel que x0 soit dans I=[0;b[

\left|F(x_0+h)-F(x_0)\right|=\left|\Bigint_{x_0}^{{x_0}+h}f\right|\le\Bigint_{x_0}^{{x_0}+h}\left|f\right|\le h\cdot\sup_{I}(f)\to 0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : integrale et partie entiere 12-05-06 à 15:53

Dans notre cas, c'est encore plus simple :
\left|f(x_0+h)-f(x_0)\right|=\left|\Bigint_{x_0}^{x_0+h}[t]\mathrm{d}t\right|\le\Bigint_{x_0}^{x_0+h}\left|[t]\right|\mathrm{d}t\le h\cdot\left(\mathrm{E}(x_0+h)+1\right)\to 0


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