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Intégrale et récurrence

Posté par
gui_tou 09-03-08 à 19:48

Bonsoir à tous

Je veux calculer calculer 3$\fbox{\rm I_n=\Bigint_0^n x^n \sqrt{1-x} dx.

Dois-je trouver une relation liant In, In+1 etc ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:51

Salut Guillaume,

Ca me semble une bonne piste, avec une IPP...

Cela dit, je n'ai pas essayé

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:53

Salut FF

Oui oui je pensais à faire apparaître In dans l'expression de I(n+2), en disant par exemple 3$x^{n+1}=x.x^n mais je ne tombe sur rien de bien intéressant.

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:55

et en essayant x^n=x^{n-1}x ?

Je dois y aller !

Bon courage

Posté par
ottore : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:55

Bonjour,
il doit y avoir une erreur puisque pour n>1 ton intégrale n'est pas définie ...

Sinon un changement de variable trigo peut être intéressant si les bornes sont intéressantes ...

Posté par
ottore : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:55

n>2 pardon

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:57

Bonjour otto

Erreur d'énoncé

3$\fbox{\rm%20I_n=\Bigint_0^{\fbox{1}}%20x^n%20\sqrt{1-x}%20dx

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:58

Citation :
Sinon un changement de variable trigo peut être intéressant si les bornes sont intéressantes ...


Je vois venir...

x=cos²(u) c'est une bonne idée ?

Posté par
ottore : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:58

Je sais pas, essaie et tu verras.

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:59

Re otto

Tu penses à quoi comme changement de variable trigo ? 'fin là on a du x, avec du x² ça aurait été peut-être plus simple

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 19:59

ah ok j'étais parti trop loin !

Posté par
ottore : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 20:00

Oui on a sqrt(1-x) moi aussi je pensais à sqrt(1-x^2), ce n'est donc peut être pas bien adapté ici...

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 20:08

J'ai tenté un truc :

En posant u(x)=x\sqrt{1-x} et v'(x)=x^{n-1}, tu obtient sauf erreurs :

4$I=\frac{1}{2n}(-2\Bigint_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1-x}}dx+3\Bigint_0^1 \frac{x^{n+1}}{\sqrt{1-x}}dx)

Tu vois ainsi apparaître la fonction beta...

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 20:09

Je suis c**, on le voit directement que c'est une fonction beta

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 20:10

Bah essaie de te renseigner sur la fonction beta

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 20:35

Ouh là non c'est trop compliqué pour nous, pauvres PC ça

Je regarde ça demain !

Merci, bonne soirée à vous

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 22:54

Re gui_tou,

Deux questions :

1) C'est donné tel quel ?

2) Dans le titre tu mets "récurrence"...c'est toi qui l'a ajouté ou alors c'est la méthode avec laquelle on doit traiter l'exo ?

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:07

T'as trouvé quelque chose en posant x=cos^2(a) ? Ca a pas l'air si moche que ça !

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:10

Ba dans mon cours, cet exo qui vient juste après l'intégrale de Wallis.

J'ai regardé dans le TD de la semaine prochaine, il y est, donc j'ai l'énoncé entier

Citation :
3$\forall n\in\mathbb{N},\;I_n=\Bigint_0^1x^n\sqrt{1-x}dx

a) Montrer que : 3$\rm\forall n\in\mathbb{N}^*,\;I_n=\fr{2n}{2n+3}I_{n-1

b) Montre que : 3$\rm\forall n\in\mathbb{N}^*,\;I_n=2^{n+2} \fr{n!(n+1)!}{(2n+3)!}

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:16

Pour le b), il y a surement une erreur d'énoncé!

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:17

Bonsoir à tous

Pour la relation de récurrence, je propose une IPP et... autre chose (fusionfroide, lis dans mes pensées ! :D)

Kaiser

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:24

Salut Kaiser

Un développement asymptotique ?

Après une IPP, je tombe sur :

pour tout n dans N étoile, 3$ I_n=\fr23.n.\Bigint_0^1x^{n-1}\sqrt{1-x}(1-x)dx

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:31

Effectivement, faire l'IPP comme ça, c'est mieux. Je pensais à autre chose : non, non pas de développements asymptotique mais le fameux "théorème belge" :D .

Sinon, tu peux maintenant séparer ton intégrale en 2 : tu reconnaitras quelque chose.

Kaiser

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:36

Magique !!  (Bon j'avoue, le coup de développer le 1-x je l'aurait pas vu sans toi )



En plus pour la b), je vois comment ça marche !

Nickel !!

Merci à tous

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale et récurrence 09-03-08 à 23:37

Pour ma part, je t'en prie !

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 16:03

kaiser >>

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 19:27

Merci Kaiser, y a de bonnes chances pour qu'ai une bien bonne note au DS

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 19:28

Pourquoi ? c'était aujourd'hui ? alors ?

Kaiser

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 19:40

C'était ce matin.

PARTIE I

On pose : 3$\rm \forall n\in\mathbb{N},\;I_n=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}}\cos^{2n}(t) dt\;,\;J_n=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}}t^2.\cos^{2n}(t) dt\;,\;K_n=\fr{4^n(n!)^2}{(2n)!}J_n

Quelques questions nous amenaient à montrer 3$\rm \Bigsum_{k=1}^{+\infty}\fr{1}{k^2}=\fr{\pi^2}{6.

PARTIE II

Etude de la fonction définie sur 3$\rm \mathbb{R}+ par : 3$ f(x)=\fr{\ln(1+x)}{x

Quelques questions bateau (montrer que f est 3$\rm C^1 sur 3$\rm \mathbb{R}+..calculer f'(0)..)

Il faut signaler que pour la limite de f en +oo, j'ai étudié non pas f, mais la fonction auxiliaire 3$A(x)=\fr{x}{1+x}-\ln(1+x)

Du coup ma courbe n'est pas juste

PARTIE III

Avec 3 questions préléminaires, on devait montrer que : 3$\forall x\in[0,1],\;\ln(1+x)=\Bigsum_{k=1}^{+\infty}\fr{(-1)^{k-1}}{k}x^k

PARTIE IV

Après avoir montré que : 3$\lim_{n\to+\infty} \Bigsum_{k=0}^n\fr{(-1)^k}{(k+1)^2}=\Bigint_0^1f(x)dx , on en a déduit que  : 3$ \Bigsum_{k=0}^{+\infty}\fr{(-1)^k}{(k+1)^2}=\Bigint_0^1f(x)dx=\fr{\pi^2}{12

Il me manque au grand maximum 3 questions en tout, c'est pas mal ^^

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 20:07

OK, donc ça s'est plutôt bien passé, alors.

Kaiser

Posté par
gui_toure : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 20:07

En partie grâce à toi

Posté par
kaiser Moderateurre : Intégrale et récurrence 10-03-08 à 20:09


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