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intégrale et relation de récurrence

Posté par haribo (invité) 10-09-05 à 17:23

bonjour.. je suis en classe prépa et j ai de gros soucis pour m y remettre ..

voila mon probléme;
soit F(x) = intégrale de 0 a 1 e^(-xln(1+t^2)
F(1)=Pi/4

j ai démontré que l intégrale de 0 a 1 t^2/((1+t^2)^2) = - 1/4 + 1/2 F(1)

il me faut maintenant déterminer une relation entre F(1) et F(2) puis par la suite trpuver une relation de récurrence entre F(n) et F(n+1)

je n ai pas d idée ou tout du moins je n arrive pas à faire le lien logique..

en vous remerciant de l aide que vous m accorderez

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:intégrale et relation de récurrence 10-09-05 à 17:39

Bonjour haribo;pour n\ge1tu peux écrire:
F(n)=\int_{0}^{1}\frac{dt}{(1+t^2)^{n}}=\int_{0}^{1}\frac{1+t^2}{(1+t^2)^{n+1}}dt=\int_{0}^{1}\frac{dt}{(1+t^2)^{n+1}}+\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^{n+1}}dt=F(n+1)+\int_{0}^{1}\frac{t}{2}\frac{2t}{(1+t^2)^{n+1}}dt
je crois qu'une intégration par parties fera l'affaire.

Posté par haribo (invité)majoration 10-09-05 à 18:01

attention je vais essayer de faire de mon mieux pour étre clair car je n ai pa de logiciel d écriture formel alor ça risque d étre compliqué!

je dois montrrer en majorant respectivement l intégrale de 0 à racine cubique de x  e^((-xt^2)/2)
et intégrale de racine cubique de x à 1 e^((-xt^2)/2) ,  montrer que une fonction
F(x) = intégrale de 0 à 1 e^(-xln(1+t^2)) admet une limite que l on déterminera en + INF

j espére que j ai réussi a étre clair et remercie les personnes qui donne un peu de temps pour m aider car c'est un réel plaisir de s apercevoir qu'il y a des gens préts a aidé les otres même en math

*** message déplacé ***

Posté par ark (invité)re : majoration 10-09-05 à 18:08

essaie d'utiliser le "latex" !

*** message déplacé ***

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : majoration 10-09-05 à 18:18

D'abord, remarquons que \ln(1+u)\ge \frac{u}{2} sur [0;1] (étudier les variations de la fonction différence).

Donc :
0\le \int_0^1e^{-x\ln(1+t^2)}dt\le\int_0^1e^{-x\frac{t^2}{2}}dt=\int_0^{\sqrt[3]{x}}e^{-x\frac{t^2}{2}}dt+\int_{\sqrt[3]{x}}^1e^{-x\frac{t^2}{2}}dt

*** message déplacé ***

Posté par haribo (invité)dérivée 10-09-05 à 18:38

quelle est la dérivée de e^-xln(1+t^2)

merci d avance

*** message déplacé ***

Posté par haribo (invité)correction 10-09-05 à 18:39

e^(-xln(1+t^2))

désolé pour l erreur

*** message déplacé ***

Posté par jerome (invité)re : majoration 10-09-05 à 18:41

Bonjour,

A lire et a respecter :
[faq]multi[/faq]

Merci
A+

*** message déplacé ***

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:majoration 10-09-05 à 18:51

Oui haribo;l'astuce est assez intéréssante:
en fait on veut montrer que \fbox{\lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{1}e^{-xln(1+t^2)}dt=0}
comme on veut faire tendre x vers +\infty on peut le supposer \ge1
on commence par remarquer que:
\fbox{\forall u\in[0,1]\\ln(1+u)\ge\frac{u}{2}} (par une étude de la fonction u\to ln(1+u)-\frac{u}{2} sur [0,1])
on en déduit donc que \fbox{e^{-xln(1+t^2)}\le e^{-\frac{xt^2}{2}}} ( u=t^2 )
puis on découpe notre intégrale comme ceci:
\fbox{F(x)\le\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}} e^{-\frac{xt^2}{2}}dt+\int_{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}^{1} e^{-\frac{xt^2}{2}}dt}
on majore la première intégrale par \fbox{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}} (puisque 0\le e^{-\frac{xt^2}{2}}\le1)
et on majore la seconde par \fbox{ (1-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})e^{-\frac{x(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^2}{2}}}
(puisque la fonction t\to e^{-\frac{xt^2}{2}} est décroissante)
on aboutit ainsi a:
\fbox{F(x)\le\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+(1-\frac{1}{\sqrt[3]{x}})e^{-\frac{\sqrt[3]{x}}{2}}}
il ne reste plus qu'à faire x\to+\infty pour conclure. ( F est déjà positive)
Voilà,j'espére que c'est assez clair comme ça


*** message déplacé ***

Posté par haribo (invité)dérivation 10-09-05 à 18:54

je bloque sur la dérivée de

e^(-xln(1+t^2))

merci les amis

*** message déplacé ***


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