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integrale et somme

Posté par
fusionfroide 26-02-07 à 14:25

Salut

je dois montrer que 4$\int_0^{\infty} \frac{sin(ax)}{exp{x}-1}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{n^2+a^2}

On remarque donc que 4$-\sum_{n=0}^{\infty}sin(ax)exp{xn}=\frac{sin(ax)}{exp{x}-1}

Mais je bloque pour calculer 4$\int_0^{\infty}sin(ax)exp{xn}dx

Je me retrouve avec une limite qui tend vers l'infini !

Un petit coup de pouce siouplé

MErci

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 14:30

Bonjour,

Attention, pour appliquer le développement de 1/(1-x) il faut que x soit compris entre -1 et 1.

Tu dois donc te débrouiller pour avoir du 1-exp(-x) au dénominateur

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 14:30

Salut Rouliane

Exact, j'ai complétement zappé là !

Merci, je reposte dès que j'ai la solution

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 14:36

Ok

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 14:36

Si tu es toujours là, vois-tu comment calculer 4$\lim_{n \to +\infty} \int_0^n (1+\frac{x}{n})^n exp{-2x}dx

merci

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 14:40

Théorème de convergence dominée peut-être ?

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 14:43

Oui, je pense, je cherche de mon coté

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 14:45

ok pour l'autre exo ça marche parfaitement !

MERCI BEAUCOUP

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 14:48

De rien.

Ca marche sinon avec le théorème de la convergence dominée dans ce cas là

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 14:49

bah d'accord merci encore !

Bonne journée

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 14:53

Bonne journée aussi, et de rien.

Si t'es dans ce domaine là, tu peux essayer de chercher : 4$\lim_{n \to +\infty}  4$ n\int_0^1 \frac{f(nt)}{1+t} dt où f est continue et intégrable de R+ dans R+.

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 14:54

merci pour l'exo, je le chercherai dès que j'aurai terminé ma fiche de TD !

A+

Je poste dès que je trouve !

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 14:56

Ok !

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:18

Re

Pour revenir au dernier exo que j'ai proposé (avec la limite), tu poses bien 4$f_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n exp{-2x} puis tu démontres les hypothèses du théorème de convergence dominée ?

Mais comment montres-tu qu'on a la convergence simple sur [0,n]

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:20

Elle converge vers la fonction nulle non ?

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:23

Tu poses 4$f_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n exp{-2x} \chi_{[0;n]} sur [0;+oo[.

( (1+\frac{x}{n})^n tend vers e^x )

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:23

Bonjour

Rouliane semble déconnecté !

fusionfroide > Pourquoi vers la fonction nulle ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:23

ah au temps pour moi !

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:24

pourquoi fais-tu apparaître la fonction caractéristique : j'ai toujours été mal à l'aise avec cette fonction

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:24

Salut Kaiser

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:26

Citation :
fusionfroide > Pourquoi vers la fonction nulle ?


oubliez
j'ai pas pris mon café de 15h00 c'est pour ça

Citation :
Rouliane semble déconnecté !


Apparemment Rouliane n'apparaît jamais dans la liste des membres connectés !!

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:27

Citation :
Apparemment Rouliane n'apparaît jamais dans la liste des membres connectés !!


ça dépend ! parfois je le vois mais maintenant je ne le vois plus du tout !

Kaiser

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:27

Je ne suis pas super au point non plus, mas si je ne me trompe pas, le seul but ici est d'avoir un intervalle d'intégration qui ne dépend plus de n.

En fait ici on va avoir : 4$ \int_0^n (1+\frac{x}{n})^n exp{-2x}dx = \int_0^{+\infty} (1+\frac{x}{n})^n exp{-2x} \chi_{[0;n]} dx

Je me trompe Kaiser ?

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:28

J'suis un fantome, héhé

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:28

C'est tout à fait ça Rouliane !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:28

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:29

Je trouve 1 comme limite, est-ce correct ?

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:29

a noter que même moi je ne me vois pas tout le temps dans la liste des connectées !

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:30

Oui, c'est ça !

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:30

Ok Rouliane mais comment tu gères cette fonction indicatrice : tu te la trimballes dans tous les calculs ?

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:31

et merci Kaiser pour la confirmation, j'avais pas vu !
A noter que j'ai découvert ce type d'intégrale qu'hier

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:31

FF, tu parlais pour la limite de l'intégrale ou des fn ?

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:32

Citation :
Je trouve 1 comme limite, est-ce correct ?


J'aurais plutôt dit que la limite valait \Large{e^{-x}} (si c'étaits égal à 1, on aura du mal à appliquer la convergence dominée).

Kaiser

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:33

Je pensais que FF parlait du résultat final

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:36

Non non je parlais bien du résultat final

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:37

Pour le résultat final je devais donc calculer \int_0^{\infty} exp{-x}dx

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:37

Ben oui c'est juste alors

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:38

Reste à bien dominer !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:38

Ok bah k'ai compris alors

Je forum c'est de la bombe   

Merci kaiser pour les confirmation

Posté par
fusionfroidere : integrale et somme 26-02-07 à 15:40

confirmation s

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:40

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 15:46

Je profite de ce post pour poser une question sur les intégrales : si une fonction est nulle sauf en un nombre fini de point, son intégrale est nulle.

Mais si :

f(t)=1 pour t \neq k \pi
f(t)=0 sinon

Est ce que je peux dire que l'intégrale est nulle ( sur [0;+oo[ )

Intuitivement, je dirais que oui, mais il y aura une infinité de points pour lesquels la fonction s'annule

Posté par
kaiser Moderateurre : integrale et somme 26-02-07 à 15:55

Rouliane > je crois que tu voulais dire autre chose.
f(t)=1 si t est de la forme \Large{k\pi}, non ?

Dans ce cas oui.
On peut résoudre ce problème de deux manières : la manière expéditive et la manière douce.

Pour la manière expéditive, consiste à dire que ta fonction est nulle presque partout (car l'ensemble sur lequel f est non nulle est dénombrable)

Pour la manière douce, il suffit de se ramener à un nombre fini car sur chaque segment, ta fonction est nulle sauf en un nombre fini de point.
Plus précisément, pour tout x, on a

\Large{\bigint_{0}^{x}f(t)dt=0} et ensuite on passe à la limite lorsque x tend vers l'infini.

Kaiser

Posté par
Roulianere : integrale et somme 26-02-07 à 16:00

Ok, merci.

Je cherchais dans le cas de l'intégrale de Riemann car c'est expeditif dans le cas de l'intégrale de Lebesgue.


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