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Intégrale et somme

Posté par
fusionfroide 02-06-07 à 23:48

Salut,

Si 4$f : [0,\infty[ -> \mathbb{R} localement R-I est décroissante, positive et si 4$a_n=f(n), alors :

4$\Bigint_0^{\infty}f(x)dx converge équivaut à 4$\Bigsum_{n\ge 0}a_n converge

Donc si je suppose que 4$\Bigsum_{n\ge 0}a_n converge, on a donc 4$\lim_{n\to \infty}=\lim_{n\to \infty} f(n)=0
Mais après je ne vois pas quoi faire !

Merci beaucoup

Posté par
Cauchyre : Intégrale et somme 02-06-07 à 23:54

Salut,

si f est décroissante on a donc:

3$f(n+1) \leq \int_{n}^{n+1} f(x) dx \leq f(n),en sommant on peut conclure.

Posté par
Ksilverre : Intégrale et somme 02-06-07 à 23:56

Bonsoir !


ce qu'il faut c'est utiliser le fait que f est décroissante pour encadrer la somme partielle avec l'intégral (et réciproquement).

ainsi tu montrera que l'une converge si et seulement si l'autre converge, et que si elle diverge toute les deux alors l'intégral et la somme partielle sont équivalent, et si tu pousse assez loin tu pourra aussi montrer que la diférence entre la somme partielle et l'intégral converge vers une constante...


tu utilise des inégalités du genre :

intégrale de n-1 a n de f(x)df >f(n)> intégral de n a n+1 de f(x)dx

Posté par
Nightmarere : Intégrale et somme 02-06-07 à 23:56

Salut fusionfroide

Sauf erreur :
Pour i supérieur à 0 :
3$\rm i\le x\le i+1\Rightarrow f(i+1)\le f(x)\le f(i)\Rightarrow f(i+1)\le \Bigint_{i}^{i+1} f(x)dx\le f(i)
En sommant jusqu'à n-1 :
3$\rm \Bigsum_{i=0}^{n-1} a_{n}-f(0)\le \Bigint_{0}^{n} f(x)dx\le \Bigsum_{i=0}^{n} a_{n}

D'où l'équivalence.

Posté par
Nightmarere : Intégrale et somme 02-06-07 à 23:57

J'arrive après la bataille. Bonsoir tout le monde.

Posté par
fusionfroidere : Intégrale et somme 02-06-07 à 23:57

Merci à tous


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