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intégrale généralisée
bonjour, j'ai une probleme sur l'intégrale généralisée entre 0 et 1 de (1-cost)dt /t. Il s'agit de montrer qu'elle converge, or, en décomposant l'intégrale sous la forme dt/t + cost/t, je trouve que chacune des deux intégrales diverge.
pourtant, mon cours affirme que si les intégrales de f et g convergent, alors f+g convergent, si l'une des deux diverge, alors f+g diverge, avec une remarque en bas : on ne peut rien conclure si les deux intégrales divergent.
donc en fait ce n'est pas "si l'une des deux diverge alors f+g diverge", mais si l'une des deux diverge et l'autre converge ?
merci d'avance.
bonsoir
ici
1-cost=2sin²t/2
(1-cost)t=sin(t/2)sin(t/2)/t/2 donc il n'y a pas de problème en 0 et il y a bien convergence
Bonjour,
oui c'est bien cela si l'une des deux diverge ca veut dire qu'il n'y en a qu'une sur les deux qui diverge.
Ici le problème se situe en 0,1-cos(t) nous donne envie de faire un développement limité pour prolonger ta fonction par continuité en 0.
Oui, c'est effectivement ce que sous-entend l'énoncé de ton théorème.
Quant à l'intégrale de entre
et
, comme
au voisinage de
, tu peux essayer de trouver un équivalent du dénominateur quand
tend vers
(grâce aux développements limités...)
Cordialement,
Erik.
Remarque :
C'est bien entendu un équivalent du numérateur dont je voulais parler !
Personnellement, je trouve que notre méthode (à Cauchy et moi) est préférable à la méthode trigonométrique de notre ami veleda.
Bonne soirée !
Certes !
L'important est d'avoir au moins l'un des deux réflexes :
1) Recherche d'équivalent(s)
2) Formules trigonométriques
Bonne soirée !
Erik.
Post-Scriptum
À Cauchy : je me suis permis de t'ajouter sur MSN.
pardonnez moi, j'en encore une question.
dans un ouvrage d'analyse, il est indiqué que pour montrer que l'intégrale généralisée entre a et +infini (a>0) de f(x) dx converge, il suffit de trouver c<1 tel que lim quand x
+
xc f(x)= l 
ainsi, pour montrer que 
e-x²dx converge (entre 0 et +infini), l'ouvrage justifie simplement que c'est parceque lim x+x2e-x²=0
cela est il suffisant ? je n'ai jamais vu de telle règle en cours ni en TD.
il y a la meme regle pour la divergence, il faut cher c < 1 tel que lim x+ xc f(x)
0.
merci encore
Pense à la comparaison aux séries de Riemann,si x^cf(x) tend vers une limite finie,alors |x^cf(x)|<=M donc |f(x)|<=M/x^c avec c>1(d'ailleurs tu as mis c<1 c'est le contraire) et 1/x^c converge.
De meme si x^cf(x) tend vers une limite non nulle avec c<1 alors f a un signe constant à partir d'un certain rang et on a alors f(x) équivalent à 1/x^c qui diverge.
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