Niveau Licence Maths 1e ann

Intégrale généralisée

Posté par
bouri 05-09-23 à 20:34

Bonjour,

J'ai du mal à calculer l'intégrale $\int_0^{ \infty} \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3}$
La fonction à intégrer n'est pas continue en 1
Donc je pensais :
$\int_0^{ A} \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3} = ln( \vert A^2+2A-3 \vert) - ln(3) \underset{A \rightarrow 1}{\rightarrow} - \infty$
Et $\int_A^{ 3} \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3} = ln( \vert 3^2+2*3-3 \vert) - ln(A^2+2A-3)) \underset{A \rightarrow 1}{\rightarrow} + \infty$
$\int_3^{ B} \dfrac{2x+2}{x^2+2x-3} = ln( \vert B^2+2B-3 \vert) - ln(3^2+2*3-3)) \underset{B \rightarrow + \infty}{\rightarrow} + \infty$

Mais donc par somme, on obtient une forme indeterminée...

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par re : Intégrale généralisée 05-09-23 à 20:41

salut

il manque le facteur dx

moi je dirai qu'on ne peut pas la calculer puisqu'elle n'est pas absolument convergente ...

je ne comprends pas ton A et 3 ...

éventuellement il faudrait plutôt calculer : $\int_0^{1 - a} ... + \int_{1 + b}^B ...$

puis faire tendre a et b vers 0 et B vers +oo

Posté par re : Intégrale généralisée 05-09-23 à 20:47

Il y a autre chose qui fâche : $0^2 + 2\times 0 - 3 = +3$

Posté par re : Intégrale généralisée 05-09-23 à 21:21

Même si elle n'est pas convergente, ne peut-on pas la calculer (et montrer qu'elle est infinie) ?

J'ai pris 3 pour ne pas avoir une double limite sur la 2e mais je comprends qu'on peut faire en une seule fois :

$\int_0^{1-a} f(x) dx = ln( \vert (1-a)^2+2(1-a)-3 \vert )- ln(3) \underset{ a \rightarrow 0}{\rightarrow} - \infty$

Et $\int_{1+b}^{B} f(x) dx = ln( \vert B^2+2B-3 \vert )- ln( \vert (1+b)^2+2(1+b)-3 \vert ) \underset{ b \rightarrow 0, B \rightarrow + \infty}{\rightarrow} + \infty + \infty$

Mais toujours une forme indéterminée, non ?

Posté par re : Intégrale généralisée 05-09-23 à 21:22

Ulmiere @ 05-09-2023 à 20:47

Il y a autre chose qui fâche : $0^2 + 2\times 0 - 3 = +3$

J'ai oublié la valeur absolue dans le dernier ln en effet

Posté par re : Intégrale généralisée 05-09-23 à 22:24

non ça ne va pas tu dois étudier la limite de $I(a, b, B) = \ln( \vert (1-a)^2+2(1-a)-3 \vert )- \ln(3) + \ln( \vert B^2+2B-3 \vert )- \ln( \vert (1+b)^2+2(1+b)-3 \vert )$ quand a et b tendent vers 0 et B tend vers +oo

or tu peux remarquer :

pour tout b et B fixés et en faisant tendre a vers 0 alors s tend vers -oo
pour tout a et b fixés et en faisant tendre B vers +oo alors s tend vers +oo

et en fait ton intégrale peut prendre n'importe quelle valeur réelle suivant comment tu fais tendre a, b et B

c'est la même chose que le classique $\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac 1 x dx$

Posté par re : Intégrale généralisée 06-09-23 à 14:28

Merci!

Posté par re : Intégrale généralisée 06-09-23 à 16:22

de rien

REM : c'est même un non-sens que d'écrire $\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac 1 x dx$

pour t'en convaincre je t'invite à calculer :

$I(a, b, p, q) = \int_a^p \dfrac 1 x dx + \int_q^b \frac 1 x dx$ avec $a < p < 0 < q < b$

a et b tendant vers l'infini et p et q tendant vers 0 et en prenant par exemple :

a = -2b et p = -2q
b = -2a et q = -2p

ou alors

a = -b^2 et p = -q^2
b = -a^2 et q = -p^2

et même en généralisant avec tout réel strictement positif à la place de 2

sauf erreur de ma part

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