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Intégrale généralisée à paramètre

Posté par
scoatarin 21-08-17 à 18:50

Merci de bien vouloir m'aider à résoudre l'exercice suivant pour me familiariser avec cette notion.  

Pour x   +*, on pose F(x) = \large\int_{0}^{+\infty } \frac{lnt}{t^2 + x }  dt.

            a) Montrer que F existe, est continue et dérivable sur R+*
            b) Calculer F(1)
            c) En déduire la valeur de F(x)

Pour la question a) :

x   \large \frac{lnt}{t^2 + x } est définie et continue sur +*, donc  F est continue donc existe sur +*.
Ensuite,  pour la dérivabilité, je n'est pas d'idée valable.

  

Posté par
lafol Moderateurre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 18:59

Bonsoir
oula ...
commence peut-être par prouver que F existe avant de voir si elle peut être continue....

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 19:17

Bonsoir,

Quelles méthodes permettent de prouver que la fonction intégrale F existe ?

Peut-on tenter de faire une intégration par parties et étudier les limites aux bornes de l'intégrale ou une autre approche est-elle meilleure ?

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 19:34

Le seul problème est en +.

Oui, mais, en +, la fonction est équivalente à 1/t²,
or 1/t² est intégrable au voisinage de +, donc par comparaison,
F est également intégrable au voisinage de +, donc F existe.

Posté par
Flewerre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 20:21

Revois ton cours, tu dis des choses incohérentes..

La fonction n'est pas équivalente à 1/t² en +infini mais à ln(t)/t^2. Pourquoi la fonction est donc intégrable au voisinage de +infini ?

De plus on ne parle pas de F, mais de la fonction intégrande car on ne sait pas du tout si F est continue pour le moment, donc de là à dire qu'elle est intégrable..

Revois tes théorèmes de continuités et essais d'être un peu rigoureux..!

"Soit x dans R+*,..."

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 21:44

Tu as tout à fait raison, merci du recadrage

Je reprends donc tout :

           Soit x dans R+*.

           \bullet  La fonction integrand \large \frac{lnt}{t^2 + x } est continue sur ]0, +[

           \bullet  En 0 ,  la fonction integrand \large \frac{lnt}{t^2 + x } est équivalente à lnt/x .
           Comme \int_{0}^{1}{lnt  dt} converge, F existe en 0.

          \bullet  En + ,  la fonction integrand \large \frac{lnt}{t^2 + x } est équivalente à lnt/t² .
           Comme \int_{1}^{+\infty}{t^{-2}lnt  dt} converge, l'intégrale converge en +.

           Conclusion : F existe sur +.

Posté par
luzakre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 22:39

Bonsoir !

"Existe sur \R_+ " ? Tu ne l'as pas montré puisque tu prends un équivalent où x est au dénominateur.
Il me semble que tu ne peux pas définir F(0) !

Tu ne devrais pas écrire F existe en 0 mais l'intégrale \int_0^1... existe (ou est convergente).

Posté par
etniopalre : Intégrale généralisée à paramètre 21-08-17 à 23:39

Pour x > 0 et x > 0 on pose f(t,x) =  ln(t)/(t² + x) .

.Soit  x  > 0 .
     1.  f(. ,x) est continue et
      2.  ..vers 0 , f( . ,x)  \sim ln(t)/x
           ..vers + ,   f( . ,x)  \sim ln(t)/t²

Cela entraine que |f(. , x)| < +  (càd que f(. , x) est intégrable )  et on pose alors F(x) = f(. , x)

Pour F(1)  :   Utiliser le changement de variable t = 1/s .
Le changement de variable t = s/x permet de voir que (si je ne me suis pas trompé ) que F(x) = cln(x)/x .

Posté par
luzakre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 08:01

Bonjour etniopal
Pour la fin je pense que c'est plutôt t=s\sqrt x.

Posté par
etniopalre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 09:27

Bonjour luzak .
Oui , tu as raison ,  bien sûr !

Sans rapport avec ce sujet , pourrais-tu me dire comment tu ferais pour "calculer "   \int_{0}^1{}{}\frac{1}{\sqrt[4]{x^3-x^4}}dx ?
Cela a été demandé à un oral  , il y a très longtemps !

Posté par
luzakre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 10:08

Je pense qu'en posant y=\sqrt[4]{x^3-x^4} on a la courbe plane y^4+x^4-x^3=0.
La quartique ayant un point triple à l'origine se paramètre par y=tx ce qui conduit, sauf erreur, à chercher l'intégrale \int_0^{+\infty}\dfrac{4t^2}{1+t^4}\mathrm{d}t
Si c'est important j'essaierai de le finir (ou demanderai à MAPLE !...)

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 10:25

Bonjour,

Que signifie la notation :  f(. ,x) ?

Posté par
etniopalre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 10:43

Oui , merci , ça marche !

Le changement de variable x = 1/(1 + t4) ( t > 0 )  montre qu'on a :     \int_{0}^1{}{}\frac{1}{\sqrt[4]{x^3-x^4}}dx  = \int_0^{+\infty}\dfrac{4t^2}{1+t^4}\mathrm{d}t

Posté par
etniopalre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 10:52

scoatarin
Si à la place du point dans f(.,x) tu mets 3 ( ou s )  tu auras f(3,x)   ( ou f(s,x) )
f(.,t) est donc l'application  t    f(t,x)  qui va de ]0 , +[ vers .
C'est quand même une notation "  agréable "   , non ?

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 12:42

etniopal
Je n'ai pas compris le rôle de . et t dans la notation   f(.,t)
. est une variable ou une constante ?
t est une variable ou une constante ?

Posté par
luzakre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 13:04

Bonjour !
etniopal a raison : utiliser un point est une notation très agréable pour définir les applications partielles.
Si f(x,y) désigne une "expression" la notation f(.,y) désigne l'application x\mapsto f(x,y) (famille d'applications paramétrée par y : pour chaque y tu as une application, la lettre x est une "variable muette", à remplacer par toute lettre qui te convient. )
et f(x,.) n'est autre que l'application t\mapsto f(x,t).

Ainsi, au lieu d'écrire \int_0^1f(x,t)\mathrm{d}t tu peux mettre \int_0^1f(x,.) : tu as une intégrale dépendant du paramètre x

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 22-08-17 à 17:02

Merci bien pour tous ces conseils de notation très important.

Il me reste à terminer de répondre à la question a)

          -  (t,x) \large\frac{lnt}{t² + x} est continue sur +* x +*:  F est continue sur +*.

La fonction dérivée :

          -  (t,x) \large\frac{-lnt}{(t² + x)^2} est continue sur +* x +*.
             Donc  F est dérivable sur +*.

C'est bon ?

Posté par
luzakre : Intégrale généralisée à paramètre 23-08-17 à 09:09

Non !
Tes conclusions seraient valables pour l'intégration sur un segment.
Dans le cas des intégrales impropres il faut justifier (par exemple les théorèmes de domination si tu les connais).
Ici ce n'est même pas utile puisque tu peux expliciter F par F(x)=\dfrac{\pi}4\,\dfrac{\ln x}{\sqrt x}

Posté par
scoatarinre : Intégrale généralisée à paramètre 23-08-17 à 10:37

Bonjour,

Grâce à votre aide , j'ai compris  la notion d'intégrales généralisées à paramètre.

Ce qui me semble le plus difficile pour ce type d'exercice est de savoir quand il est bon de penser à faire un changement de variable et comment bien le choisir.

Merci donc de votre aide fort sympathique et bonne journée à tous.    


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