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intégrale holomorphe

Posté par
letonio 19-05-07 à 15:38

Bonjour tout le monde,

Je bute sur un exo.

Montrer que \int_0^{\infty} sint/(z^2+t^2) dt
définit une fonction holomorphe sur C\iIR


Soit  f:IR+*C\iIR->C
        (t,z)->sint/(z^2+t^2)

1) f est continue
2) pour tout t fixé, z->f(t,z) est holomorphe
3) je peine à trouver la majoration.

J'avais pensé majorer par 1/t^2, mais d'une part t->1/t^2 n'est pas intégable sur IR+ et d'autre part, j'avais utilisé une majoration qui ne fonctionne pas.

Peut-on prouver que t^2<=|t^2+z^2|  ?

Mais du coup, quelle majoration peut-on utiliser?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 15:52

re letonio

Il ne faut pas nécessairement se placer sur \Large{\mathbb{C}-i\mathbb{R}} tout entier.
Il suffit de se placer sur des ensembles qui sont à une distance a de \Large{i\mathbb{R}} et ce pour tout a > 0.
par ailleurs, ta dernière inégalité est fausse.

Kaiser

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:09

Citation :
par ailleurs, ta dernière inégalité est fausse.

oui c'est bien ce que je pensais.

Je ne comprends pas bien ce que tu me conseilles.

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:16

en fait, ça va être en gros le même genre de raisonnement que lorsque tu veux montrer la continuité d'une intégrale à paramètre.
Par exemple, imagine que tu veuilles montrer la continuité d'une intégrale à paramètre sur l'intervalle \Large{]0,+\infty[} mais que la majoration ne marche pas sur tout l'intervalle.
Dans ce cas, on s'éloigne de 0 ou de l'infini en montrant la continuité sur les compacts ou sur les intervalles du type \Large{[a,+\infty[} avec a > 0.
Ici, ça va être la même chose, sauf que l'on dans le plane complexe.
On va donc se placer sur des ensembles qui sont "loin" des points de type ix avec x réel.
Il suffit donc de se placer sur les ensemble de type \Large{\{z/ |Re(z)|\leq a\}} où a > 0

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:16

euh pardon, je voulais dire :

\Large{\{z/%20|Re(z)|\geq%20a\}}

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:22

Ok je vois.
Par contre, je ne vois pas vraiment quelle majoration je peux retirer de ça...
J'y réfléchis.

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:35

Il faut majorer le module la fonction, donc que faut-il faire du dénominateur ?

Kaiser

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:39

Bon j'ai bien une idée.

si j'appelle U l'ensemble que tu as défini, pour tout a>0

Alors pour tout z dans U
z^2= Rez ^2 + 2i imz rez + Imz ^2

donc |t^2+ z^2|>= |t^2+a^2|
et donc on récupère la majoration
1/|t^2+z^2|<=1/(t^2+a^2)  qui est bien une fonction intégrable sur IR+

Quelle est la conclusion?
POur tout a>0 et pour tout z dans U    on a cette majoration, donc c'est suffisant?
C'est vrai que lorsque l'on regarde la preuve, il me semble que l'on a besoin de la majoration uniquement pour montrer que l'intégrale généralisée est continue, pour pouvoir appliquer le théorème de Morera.
Donc effectivement, il me semble que ça convient.

Je me trompe?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:43

Non tu ne trompes pas : c'est suffisant car ça te dit que la fonction que l'on a définie est holomorphe sur tout ouvert de la forme \Large{\{z/%20|Re(z)| > a\}} donc sur \Large{\mathbb{C}-i\mathbb{R}}.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:44

de plus, la fonction par laquelle tu as majorée est bien intégrable car a > 0

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 16:53

autre chose : je suppose que, entre "z^2= Rez ^2 + 2i imz rez + Imz ^2" et "
donc |t^2+ z^2|>= |t^2+a^2|", il y a une ligne de calcul ?

Kaiser

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 19-05-07 à 17:47

Merci à toi

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 19-05-07 à 17:49

Citation :
autre chose : je suppose que, entre "z^2= Rez ^2 + 2i imz rez + Imz ^2" et "
donc |t^2+ z^2|>= |t^2+a^2|", il y a une ligne de calcul ?

Comment ça?
Je suis parti du principe que puisque l'on raisonne sur les modules, et que rez^2 et imz^2 sont tous deux positifs, cette majoration vient naturellement.
Il y a quelque chose à dire ou que je n'ai pas vu?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 17:55

eh bien j'ai l'impression que tu effectue des minorations avec des complexes.
De plus, en y réfléchissant bien, je crois que la majoration n'est pas si évidente que ça.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 19-05-07 à 17:57

en fait, je ne suis pas sur que la majoration est bonne.
Je vais essayer de voir ça de mon côté.

Kaiser

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 20-05-07 à 08:07

Je ne comprends pas pourquoi ça ne serait pas bon?

|t^2+rez^2 +imz^2+2imzrez|= sqrt[(t^2+rez^2 +imz^2)^2+(2imzrez)^2 ]<=^t^2 + rez^2
non?

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 20-05-07 à 08:19

ahhhh!
j'ai oublié le i
z^2= rez^2 +2imzrez -imz^2  
Mais ça marche aussi me semble t'il
|t^2+rez^2 -imz^2+2imzrez.i|= sqrt{(t^2+rez^2 -imz^2)^2+(2imzrez)^2}=sqrt{t^4 +rez^4+imz^4+ 2t^2 rez^2-2rez^2.imz^2 + 4imz^2 rez^2}
=sqrt{t^4+rez^4+imz^4+ 2t^2 rez^2+2rez^2.imz^2}<=t^2+ rez^2

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 20-05-07 à 08:21

Oups j'ai aussi oublié le -2t^2imz^2
:/

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 20-05-07 à 08:23

Mais puique l'on est dans la racine, il me semble que l'on peut de toute façon majorer en enlevant ce truc négatif.
Donc pas de problème non?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 20-05-07 à 09:51

on voudrait minorer ce module, pas majorer.

Kaiser

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 20-05-07 à 10:21

Oui c'est ce que j'ai vu en m'y replongeant de près.
Je n'arrive pas à minorer du coup.
Est-ce que l'on peut s'y prendre comme ça quand même?

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 20-05-07 à 10:41

J'ai essayé de la même manière mais je n'y suis pas arrivé. Je pense que l'on doit être moins ambitieux et se placer non pas sur l'ouvert que je t'avais précisé plus haut mais simplement sur des compacts inclus dans l'ouvert \Large{\mathbb{C}-i\mathbb{R}}.
Ensuite, on essaie de se fatiguer le moins possible : on utilise l'inégalité triangulaire de gauche pour régler le problème des t "grands". Pour les t petits, on pourra essayer de minorer par une constante strictement positive, qui dépendra du compact sur lequel on se place.
Vois-tu où je veux en venir ?

Kaiser

Posté par
letoniore : intégrale holomorphe 20-05-07 à 11:41

Heu comment dire?
C'est encore un peu flou dans ma tête. Je vois l'idée, mais dans la réalisation...

Posté par
kaiser Moderateurre : intégrale holomorphe 20-05-07 à 11:54

Pour le compact, on peut considérer à peu près n'importe lequel (pas besoin de l'expliciter). Notons K un tel compact.
L'idée est de dire que \Large{|t^{2}+z^{2}|\geq |t^{2}-|z|^{2}|} mais pour pouvoir passer à l'inverse, il faut pouvoir s'assurer que le terme de gauche est non nul, ce qui est le cas dès que \Large{t\geq |z|+1} pour tout z de K (le +1, c'est pour avoir de la marge).
Comme K est compact, alors K est inclus dans une boule de rayon R.
Donc si \Large{t\geq R+1}, \Large{|t^{2}-|z|^{2}|} est effectivement non nul, car \Large{|t^{2}-|z|^{2}|\geq t^{2}-R^{2}}

Ainsi, si \Large{t\geq R+1}, on a pour tout z de K, on a \Large{\|\frac{1}{t^{2}+z^{2}}\|\leq \frac{1}{t^{2}-R^{2}}}.

On a donc réussi à majorer notre fonction mais uniquement lorsque t est supérieur à R+1 (le sinus n'est pas un problème : il est majoré par 1).
Il reste à trouver une majoration pour les t compris entre 0 et R+1.

Kaiser


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