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intégrale impropre

Posté par Mayo (invité) 10-09-05 à 22:20

Salut, comment calculer la valeur de l'intégrale:
\int_{1}^{2} \frac{lnt}{t-1}dt ?
Je sais montrer qu'elle converge en utilisant la propriété des fonctions prolongeables par continuité mais je bloque à ce niveau.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:intégrale impropre 10-09-05 à 23:21

avec le changement de variable t\to t-1 on a
\int_{1}^{2}\frac{ln(t}{t-1}dt=\int_{0}^{1}\frac{ln(1+t)}{t}dt on peut alors utiliser le développement:
ln(1+x)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} valable pour x\in]-1,1]
en justifiant l'interversion des signes \sum et \int

Posté par
Roulianere : intégrale impropre 10-09-05 à 23:44

Bonjour,

La fonction h:t\frac{ln(t)}{t-1} est continue sur ]1,2], donc localement intégrable sur ]1,2]

Le problème est en 1 :

On sait que ln(t) est équivalent en 1 à t-1, donc \frac{ln(t)}{t-1} est équivalent en 1 à 1.
h est donc prolongeable par continuité en 1

Finalement, h est intégrable sur [1,2].

Donc l'intégrale converge  !

sauf erreur

Posté par Mayo (invité)re : intégrale impropre 11-09-05 à 00:22

héhé merci nicoco c'est ce que j'avais écris
Elhor a nous eux
Deja le developpement que tu donnes, il sort d'où??
et puis comment tu justifies la permutation de l'intégrale et de la somme lol?

Posté par Mayo (invité)re : intégrale impropre 11-09-05 à 00:41

ah oui ce doit être une histoire developpement en série entière no?
Ce n'est pas au programme
En fait on doit juste prouver sa convergence mais en faire plus n'est pas interdit et je m'interroge
Pour la permutation ca m'interesse quand meme si quelqun peut expliquer

Posté par
Roulianere : intégrale impropre 11-09-05 à 00:43

Si je me souviens bien, pour intervertir symboles somme et intégrale on doit :

1°)Montrer que la fonction est intégrable sur l'intervalle considéré
2°)Ecrire f comme somme d'une série : xI, f(x)=Un(x)
3°) Montrer que Un est intégrable sur I

Puis soit on applique le théoreme de la CV dominée à la suite de fonction Un, soit on montre que \int_^{} |Un(x)|dx converge...

Mais je ne suis pas sur du tout ( pour les 3 1ers points, je crois que c'est ça, apres, et c'est la partie la plus délicate, je suis pas sur)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale impropre 11-09-05 à 00:48

Mayo,d'aprés ton profil tu es en math spé et je crois que les séries entières sont au programme spé non ?

Posté par
Roulianere : intégrale impropre 11-09-05 à 00:55

C'est vrai que c'est plus rapide avec les séries entières, j'avais pas pensé

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale impropre 11-09-05 à 03:50

D'une maniére élémentaire,on pourra commencer par montrer que:
\fbox{\{{(\forall t\in[0,1])(\forall n\ge1)\\ \frac{1}{1+t}=\Bigsum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}t^k+\frac{(-1)^{n}t^n}{1+t}} (une récurrence fera l'affaire)
puis par intégration sur [0,x] que:
\fbox{\{{(\forall x\in[0,1])(\forall n\ge1)\\ln(1+x)=\Bigsum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+\int_{0}^{x}\frac{(-1)^{n}t^n}{1+t}dt}

Posté par Mayo (invité)re : intégrale impropre 11-09-05 à 09:01

en fait elhor le soucis du profil c'est que prépa HEC voie scentifique 2eme année n'est pas répertorié

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : intégrale impropre 11-09-05 à 13:34

Bonjour Mayo;je continue:
\fbox{(\forall x\in[0,1])(\forall n\ge1)\\ \frac{ln(1+x)}{x}=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}x^{k-1}}{k}+\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{(-1)^{n}t^n}{1+t}dt}
notons \fbox{R_{n}(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{(-1)^{n}t^n}{1+t}dt} et remarquons la majoration \fbox{|R_n(x)|\le\frac{1}{x}\int_{0}^{x}t^ndt=\frac{x^n}{n+1}\le\frac{1}{n+1}} on peut donc écrire que:
\fbox{\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{x}dx=\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}+\int_{0}^{1}R_n(x)dx}
en faisant n\to+\infty on aboutit à:
\fbox{\int_{0}^{1}\frac{ln(1+x)}{x}dx=\Bigsum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}} et donc que:
\fbox{\int_{1}^{2}\frac{ln(t)}{t-1}dx=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}} et si on utilise que \fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}} on a que:
3$\blue\fbox{\int_{1}^{2}\frac{ln(t)}{t-1}dx=\frac{\pi^2}{12}}
Sauf erreur bien entendu

Posté par délice (invité)re : intégrale impropre 11-09-05 à 15:24

j'ai donc

(x)= 1(x)/(1-) - [/sub](x)/(1+)

avec [sub]1=a+b
     2=a-b
     =1/2<1,g>
     =-1/2<2,g>

pour l'application, a(x)=sinx/
                    b(x)=cosx
et je trouve ==0 ???

Posté par délice (invité)re : intégrale impropre 11-09-05 à 15:28

erreur de manip désolé!!biz

Posté par Mayo (invité)re : intégrale impropre 13-09-05 à 21:09

salut, est ce que tu pourrais (ou quelqu'un d'autre) préciser le passage de l'avant derniere avec l'uilisation de \zeta(2) et la conclusion stp.
Merci par avance


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