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Intégrale impropre

Posté par
tintin22 28-03-24 à 15:31

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Voici le sujet,
L'objectif du devoir est de déterminer la valeur de l'intégrale impropre\int_{-\infty }^{+\infty}{e^{-x^2}}dx


1/ Montrer que l'intégrale est convergente.
2/ On fixe un entier n et on pose J_{n}=\int_{0}^{\sqrt{n}}{(1-\frac{x^2}{n})^n}dx
Montrer que Jn s'exprime en fonction de l'intégrale de Wallis I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^n\theta }d\theta

3/En déduire que la suite (J_n) converge et déterminer sa limite.

4/ Montrer que pour tout x\in[0,1[ on a -x-\frac{x^2}{2(1-x)}\leq ln(1-x)\leq-x

5/ En déduire que si on fixe r>0 alors \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{r}{(1-\frac{x^2}{n})^n} dx = \int_{0}^{r}{e^{-x^2}} dx

6/En déduire que \lim_{n\rightarrow \infty}J_n = \int_{0}^{\infty}{e^{-x^2}} dx et conclure

Alors j'ai réussi jusqu'à la question 4
Sans trop faire de détail,
1/ j'ai montré que l'intégrale était un o(\frac{1}{x^2}) donc elle converge

2/ J'ai trouvéJ_n = I_{2n+1}*\sqrt{n} grâce au changement de variable x = \sqrt{n}\cos\theta

3/ En passant par un équivalent de l'intégrale de Wallis, je prouve que J_n converge et que sa limite est \frac{\sqrt{\pi}}{2}
4/ En divisant l'inégalité en deux en montrant que ces deux inégalités sont toujours vrai en passant par un tableau de variations
5/ C'est ici que je suis bloqué...
On me dit "En déduire" mais je ne comprends pas comment utiliser la question 4/, je suppose qu'il faut utiliser l'interversion limite intégrale donc pour cela il faut que la suite (1-\fraxc{x^2}{n})^n converge uniformément, donc peut être utiliser la question 4/ pour le prouver..
Je ne sais pas.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ? Je vous remercie d'avance.

Posté par
Ninalilire : Intégrale impropre 29-03-24 à 22:05

Salut,
À mon avis, il faut utiliser le fait que :
\exp (n \ln (1- \frac{x^2}{n})) = (1-\frac{x^2}{n})^n
Puis, utiliser le 4/ pour encadrer ln, et finir par un passage à la limite.

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 30-03-24 à 11:37

Bonjour, merci de votre réponse.

Avec ce que vous me dites, je remplace directement dans l'intégrale mais est-ce toujours vraie? Après utiliser le 4/ vous me dites de passer à la limite. Or je n'aurai pas calculer l'intégrale... donc pas possible de passer à la limite ? enfin je pense...

Après je ne comprends pas trop la question, déja il y a une limite a gauche de l'égalité et pas à droite. Donc c'est pour cela que je pensais qu'il fallait utiliser l'interversion limite-intégrale mais pour cela il me faut la convergence uniforme mais je n'arrive pas à la prouver....

Posté par
Ninalilire : Intégrale impropre 30-03-24 à 16:50

Bonjour,
Alors une autre piste : appliquer le théorème de convergence dominée, dans ce cas on cherche juste à montrer la convergence simple, qui est facile à prouver avec la question 4/.
Il y a aussi une hypothèse de domination qui est facile à établir je pense.
Et la conclusion de ce théorème te permet d'intervertir la limite et l'intégrale....
Après je ne sais pas si ce théorème est à ton programme.

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 30-03-24 à 18:55

salut

il me semble que simplement :

dans l'inégalité de 4/ :

a/ je remplace x par x^2/n
b/ je multiple par n
c/ j'intègre entre 0 et r

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 01-04-24 à 20:58

Bonsoir excusez moi, j'ai complètement oublié de regarder le forum ce week-end , en tout cas merci de votre temps, alors
Ninalili comme vous l'avez dit je n'ai pas encore vu ce théorème qui doit venir des integrale de Lebesgue, pour l'instant je suis dans le cadre des intégrales de Riemann.... donc du coup je comprends pas... J'ai beau avoir chercher un peu ce week-end je n'arrive pas à en déduire la question 5....

carpediem @ 30-03-2024 à 18:55

salut

il me semble que simplement :

dans l'inégalité de 4/ :

a/ je remplace x par x^2/n
b/ je multiple par n
c/ j'intègre entre 0 et r

Alors je suis d'accord avec l'inégalité de droite de 4/ on obtient bien l'intérieur des intégrales de la question 5/ mais après je comprends pas pourquoi déjà dans la question on nous dit si on fixe r>0 alors on a.... parce que après même si j'intègre il me reste à prouver que la limite de l'intégrale et égale à une intégrale et ça je ne sais pas comment le prouver sans utiliser le theoreme d'interversion limite integrale.

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 01-04-24 à 21:31

carpediem @ 30-03-2024 à 18:55

dans l'inégalité de 4/ :

a/ je remplace x par x^2/n
b/ je multiple par n
c/ je prends l'exponentielle
d/ j'intègre entre 0 et r


montre nous le membre de droite après tout cela ...

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 01-04-24 à 23:52

carpediem @ 01-04-2024 à 21:31

dans l'inégalité de 4/ :
a/ je remplace x par x^2/n
b/ je multiple par n
c/ je prends l'exponentielle
d/ j'intègre entre 0 et r

Utiliser l'exponentielle je l'avais déduit mais s'est la suite mais je reprends du début.
D'après 4/ on a ln(1 - x)\leq -x
Ensuite on remplace par \frac{-x^2}{n} on a  ln(1- \frac{-x^2}{n}) \leq \frac{-x^2}{n}
Puis on multiplie par n soit n*ln(1- \frac{-x^2}{n}) \leq n*\frac{-x^2}{n}
On simplifie   ln(1- \frac{-x^2}{n})^n \leq -x^2
On applique l'exponentielle, e^{ln(1- \frac{-x^2}{n})^n}\leq e^{-x^2}
On simplie de nouveau, (1- \frac{-x^2}{n})^n}\leq e^{-x^2}

On applique l'intégrale de 0 à r>0 ( car si r=0 l'intégrale est nulle)
Donc  \int_{0}^{r}{(1- \frac{-x^2}{n})^n} \leq \int_{0}^{r}{e^{-x^2}}

Or maintenant, on veut l'égalité et à gauche on veut la limite de l'intégrale. C'est cela que je ne comprends pas... Pour moi , il faudrait utiliser le théorème interversion limite-intégrale.. Donc il faudrait convergence uniforme..
C'est ce que j'essayais d'expliquer dans mon précédent message. Comment on peut passer à la limite que d'un côté et que l'inégalité se transforme en égalité...

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 02-04-24 à 08:47

pardon c'est évidemment pour l'inégalité de gauche que je demandais le détail !!!

puisqu'à droite il n'y a pas de pb ...

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 02-04-24 à 19:02

Pas de soucis alors en suivant la même méthode on a alors d'après 4/
-x - \frac{x^2}{2(1-x)} \leq \ln(1-x)
On remplace x = \frac{x^2}{n}
On a alors -x - \frac{(\frac{x^2}{n})^2}{2(1-\frac{x^2}{n}))}\leq \ln(1-\frac{x^2}{n})
On multiplie par n
n(-x - \frac{(\frac{x^2}{n})^2}{2(1-\frac{x^2}{n}))})\leq n\ln(1-\frac{x^2}{n})
On simplifie
(-x^2-\frac{x^4}{2n(1-\frac{x^2}{n})})\leq\ln(1-\frac{x^2}{n})^n
On passe à l'exponentielle
On a e^{(-x^2-\frac{x^4}{2n(1-\frac{x^2}{n})})}\leq e^{\ln(1-\frac{x^2}{n})^n}
On simplifie
e^{(-x^2-\frac{x^4}{2n(1-\frac{x^2}{n})})}\leq (1-\frac{x^2}{n})^n

Après si je fais \lim_{n\rightarrow \infty}e^{(-x^2-\frac{x^4}{2n(1-\frac{x^2}{n})})}
On fait un équivalent de
\frac{x^4}{2n(1-\frac{x^2}{n})} en n\rightarrow +\infty on a \frac{x^4}{2n(1-\frac{x^2}{n})}\rightarrow \frac{1}{n}
Donc \lim_{n\rightarrow \infty}e^{(-x^2-\frac{1}{n})} =e^{(-x^2)

Et après je ne sais pas si c'est rigoureux de juste mettre
Donc
\lim_{n\rightarrow \infty}\int_{0}^{r}{(1-\frac{x^2}{n})^n} dx = \int_{0}^{r}{e^{-x^2}} dx \\

ou alors il me manque une étape ou deux

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 02-04-24 à 19:53

tu n'as pas remplacé le premier x dans

tintin22 @ 02-04-2024 à 19:02

-x - \frac{x^2}{2(1-x)} \leq \ln(1-x)

On remplace x = \frac{x^2}{n}

On a alors -{\red x} - \dfrac{(\dfrac{x^2}{n})^2}{2(1-\dfrac{x^2}{n}))}\leq \ln(1-\dfrac{x^2}{n})
mais tu as corrigé le tir ensuite ...

et ici j'écrirai simplement :
tintin22 @ 02-04-2024 à 19:02

On simplifie  (-x^2-\dfrac{x^4}{2n- 2x^2})\leq\ln(1-\dfrac{x^2}{n})^n


et avec l'exponentielle le premier membre s'écrit e^{-x^2 } e^{-\frac {x^4} {2n - 2x^2}} > e^{-x^2} e^{- \frac {x^4} {2n}} \underset{n \to + \infty}{\to} e^{-x^2}

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 02-04-24 à 21:14

Oups un oubli mais je l'ai bien écrit après heureusement merci de me l'avoir dit.

carpediem @ 02-04-2024 à 19:53


et avec l'exponentielle le premier membre s'écrit e^{-x^2 } e^{-\frac {x^4} {2n - 2x^2}} > e^{-x^2} e^{- \frac {x^4} {2n}} \underset{n \to + \infty}{\to} e^{-x^2}

Ce que vous écrivez est faux non ? Quand on passe à lexponentielle c'est tout le membre qui est sous la même exponentielle sinon on doit l'écrire comme un quotient d'exponentielle vu que l'on a une soustraction donc e^{-x^2-\frac{x^4}{2n-2x^2}}> e^{-x^2-\frac{x^4}{2n}}\underset{n \to + \infty}{\to} e^{-x^2}  Par contre je suis pas sûre du signe de l'inégalité

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 03-04-24 à 07:58

e^{x + y} = e^x \times e^y

pour le sens de l'inégalité : moi non plus

donc étudier le sens de variation du second facteur rigoureusement sur [0, r] pour obtenir la minoration convenable ...

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 03-04-24 à 17:04

Je n'arrive pas à faire le tableau de variation je ne vois pas d'après quel variable il voit dériver.
Donc j'ai essayer de reprendre, au final de l'inégalité 4/, j'obtiens
e^{-x^2-\frac{x^4}{2n-2x^2}} \leq (1-\frac{x^2}{n})^n \leq e^{-x^2}
En passant à la limite quand n tend vers +infini, j'ai
\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{-x^2-\frac{x^4}{2n-2x^2}} \leq \lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{x^2}{n})^n \leq \lim_{n\rightarrow +\infty}e^{-x^2}
et donc
e^{-x^2}*1 \leq \lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{x^2}{n})^n \leq e^{-x^2}
Donc
e^{-x^2}=\lim_{n\rightarrow +\infty} (1-\frac{x^2}{n})^n=e^{-x^2}
J'intègre de 0 à r
\int_{0}^{r}{e^{-x^2}dx}=\int_{0}^{r}{\lim_{n\rightarrow +\infty} (1-\frac{x^2}{n})^n dx}=\int_{0}^{r}{e^{-x^2}dx}

En soit, pour répondre totalement à la question, il faudrait intervertir la limite et l'intégrale, mais prouver cela me parait compliquer

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre 03-04-24 à 17:28

pas besoin de tableau de variation car on travaille sur [0, r]

vu que r est fixé alors pour n > 2r :    -x^2 - \dfrac {x^4} {n}\le -x^2 - \dfrac {x^4} {2n - x^2} et que exp est croissante on en déduit que

\int_0^r e^{-x^2 - \frac {x^4} n} dx \le \int_0^r e^{-x^2 - \frac {x^4} {2n - x^2}} dx \le \int_0^r \left( 1 - \dfrac {x^2} n \right)^n dx

et on fait tendre n vers +oo ...

Posté par
tintin22re : Intégrale impropre 03-04-24 à 18:10

Au final, je n'en ai même pas besoin. En reprenant ce que j'ai fait je peux utiliser le théorème de convergence dominée que Ninalili me parler, le prof ne nous l'a pas fait écrire mais en fouillant le poly qu'il a mis sur internet je l'ai trouvé.
Donc j'ai juste à montrer une convergence simple en repartant de ce que j'ai trouvé.

tintin22 @ 03-04-2024 à 17:04


\int_{0}^{r}{e^{-x^2}dx}=\int_{0}^{r}{\lim_{n\rightarrow +\infty} (1-\frac{x^2}{n})^n dx}=\int_{0}^{r}{e^{-x^2}dx}

Donc il faut que \lim_{n\rightarrow +\infty} (1-\frac{x^2}{n})^n }= f
On a en passant au ln puis l'exponentielle
\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{n\ln(1-\frac{x^2}{n})}
On fait un DL de \ln(1-\frac{x^2}{n}) c'est égale à \frac{-x^2}{n}
Donc \lim_{n\rightarrow +\infty}e^{n(-\frac{x^2}{n})}=\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{-x^2}=e^{-x^2}
Donc \lim_{n\rightarrow +\infty} (1-\frac{x^2}{n})^n }= e^{-x^2}
Donc on a convergence simple.
De plus il faut une hypothèse de domination que l'on a |(1-\frac{x^2}{n})^n }|\leq{|e^{-x^2}}| = |(1-\frac{x^2}{n})^n }|\leq{e^{-x^2}} pour tout x appartenant à [0,r], et e^{-x^2} est intégrable au sens de Riemann sur [0,r]
Donc
\int_{0}^{r}{\lim_{n\rightarrow +\infty} (1-\frac{x^2}{n})^n dx}=\int_{0}^{r}{e^{-x^2}dx}= {\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{r} (1-\frac{x^2}{n})^n dx}=\int_{0}^{r}{e^{-x^2}dx}
Ce qui prouve la question 5
Pour la question 6,
\lim_{n\rightarrow +\infty}J_n =\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{0}^{\sqrt{n}}{e^{-x^2}dx} = \lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty}{e^{-x^2}dx} = \sqrt{\frac{\pi}{4}}
D'après la question 1/ on a \int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx} = 2*\int_{0}^{+\infty}{e^{-x^2}dx} = 2* \sqrt{\frac{\pi}{4}}= \sqrt{\pi}}


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