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Intégrale impropre avec des sinus

Posté par
JonathanG 03-10-23 à 00:44

Bonjour la communauté.
J'ai un exercice récalcitrant, et je voulais savoir si vous pouviez m'aider. Je dois dire si l'intégrale impropre suivante est convergente, divergente ou semi-convergente :
\int_1^{+\infty} \frac {sin(x)}{\sqrt{x}+sin(x)}
En regardant sur Geogebra, je serais bien tenté de dire semi-convergente, mais même graphiquement, j'en suis pas sûr, ça peut être divergent aussi.
Tout ce que j'ai réussi à faire, c'est à encadrer la fonction entre -\frac{1}{\sqrt{x}-1} et \frac{1}{\sqrt{x}-1} ...ce qui ne m'avance pas, puisque les deux sont divergentes en +\infty.
Est-ce que quelqu'un aurait une idée ? Merci !

Posté par
carpediemre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 08:38

salut

vu les changements de signes du sinus peut-être considérer les intervalles [kpi/2, (k + 1)pi/2] pour k variant d 1 à l'infini ...

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 09:02

Bonjour,

il est tentant de comparer avec l'intégrale J=\int_1^{+\infty} \dfrac {sin(x)}{\sqrt{x}}dx.

On peut montrer que l'intégrale J converge à l'aide d'une IPP.

D'autre part on peut montrer que la différence des deux intégrales donne une intégrale absolument convergente en utilisant \sqrt a-\sqrt b=\dfrac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}

Posté par
JonathanGre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 14:42

Merci pour vos réponses.
@carpediem J'y ai pensé, mais ça n'aide pas je pense. En tout cas, je ne vois rien.
@jandri Effectivement, j'ai eu la révélation cette nuit, les deux fonctions sont équivalentes, il suffit donc de faire le boulot pour J. Je n'ai pas de soucis pour démontrer la convergence, mais pour la semi-convergence oui. Je dois donc montrer que J n'est pas absolument convergente.
Je ne sais pas si c'est le sens de la deuxième partie de votre post. En quoi montrer que la soustraction des intégrales donne une intégrale absolument convergente peut aider ?
Merci pour votre aide et vos indications

Posté par
JonathanGre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 15:36

Je pense avoir trouvé, en adaptant la solution trouvée pour \frac{sin(x)}{x} sur un site anglophone :
décomposer l'integrale en somme d'intégrales sur des intervalle de type [k \pi ; (k+1)\pi] , minorer \frac{1}{\sqrt{x}} sur chacun de ces intervalles. On arrive alors à minorer l'intervalle par une intégrale divergente.

Merci !

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 15:45

Tout simplement parce que l'équivalence des deux fonctions en l'infini ne prouve pas que les deux intégrales sont de même nature.

Par exemple f(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt x}
et g(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt x}+\dfrac{\sin^2 x}{ x}=f(x)(1+f(x))\sim f(x) en +\infty

\int_1^{+\infty}f(x)dx converge mais \int_1^{+\infty}g(x)dx diverge

Posté par
JonathanGre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 16:00

ah oui en effet, merci d'attirer mon attention là-dessus, j'avais jamais fait attention à la condition "et de signe constant" dans le théorème

En soustrayant, je ne vois pas trop ce que seraient a et b du coup. Si j'appelle I mon intégrale je trouve I-J = \int_ 1^\infty \left( \frac{sin(x)}{\sqrt{x}+sin x} - \frac{sin(x)}{\sqrt{x}} \right)dx =  \int_ 1^\infty \ \frac{-\sin^2(x)}{x+\sqrt{x} sin(x)}dx.
Et donc ensuite, si ce que je trouve est absolument convergent, je peux en déduire que I et J sont de même nature ? Il s'agit d'un théorème ?

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 16:15

Si I-J est une intégrale convergente et si J est convergente alors I est convergente (somme de deux intégrales convergentes).

Mais ce n'est pas le cas ici car l'intégrale I-J est divergente (j'avais fait le calcul de tête un peu vite) !

Pour le démontrer on peut par exemple minorer l'intégrale de n\pi à (n+1)\pi de \dfrac{\sin^2(x)}{x+\sqrt{x} sin(x)} par le terme général d'une série divergente

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 16:19

J'ai trouvé mon erreur, j'avais fait le calcul pour \\ \int_1^{+\infty} \dfrac {\sin(x)}{\sqrt{x+\sin(x)}} qui est une intégrale convergente.

C'est pour le montrer que j'avais donné l'indication avec a et b.

Posté par
JonathanGre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 17:49

Du coup, il faut repartir de 0. J'ai réussi à montrer qu'elle n'était pas absolument convergente en minorant \frac{|sin(x)|}{\sqrt{x}+sin(x)} par \frac{|sin(x)|}{\sqrt{(n+1)\pi}+1} sur [n\pi; (n+1)\pi].
Pour la convergence j'imagine qu'il faut faire le même genre de manipulation, sûrement sur un intervalle [2n\pi; 2(n+1)\pi].
Plus qu'à trouver laquelle exactement

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 18:29

C'est bien pour la preuve de la non convergence absolue.

On ne peut pas montrer la convergence puisque l'intégrale diverge. On pourrait montrer sa divergence en utilisant la série de terme général l'intégrale de n\pi à (n+1)\pi mais c'est plus simple de comparer avec l'intégrale J qui est convergente.

Comme tu l'as calculé, J-I = \int_ 1^\infty \left( \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}+\sin x} \right)dx = \int_ 1^\infty \ \dfrac{\sin^2(x)}{x+\sqrt{x}\sin(x)}dx

On montre la divergence de cette dernière intégrale en minorant l'intégrale de n\pi à (n+1)\pi par le terme général d'une série divergente.

Posté par
JonathanGre : Intégrale impropre avec des sinus 03-10-23 à 19:12

Effectivement, la divergence directe est un enfer ! J'y suis enfin arrivé, comme tu as dit. Du coup ma non absolue convergence n'aura servi à rien !
Merci beaucoup !

Posté par
jandri Correcteurre : Intégrale impropre avec des sinus 04-10-23 à 09:54

C'est un exercice intéressant qu'on peut même généraliser un peu.

Les intégrales \int_1^{+\infty} \dfrac {\sin x}{x^{\alpha}}dx et \int_1^{+\infty} \dfrac {\sin x}{(x+\sin x)^{\alpha}}dx sont convergentes pour \alpha>0


En revanche l'intégrale \int_1^{+\infty} \dfrac {\sin x}{x^{\alpha}+\sin x}dx ne converge que pour \alpha>1/2


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